浅谈高中函数定义域与值域的求法

江西省井冈山中学(343600)

贺 敬●



浅谈高中函数定义域与值域的求法

江西省井冈山中学(343600)

贺 敬●

函数是高中数学中的重要内容之一，同时也是高考的必考内容.函数由定义域、对应法则、值域三个基本要素组成，而掌握这三要素是理解掌握初等函数这一内容的关键.下面分别对函数定义域和值域的一些常见求法进行归纳分析，以便学生和教师参考学习.

函数;数学方法;定义域;值域

一、函数定义域的求法

定义域是函数的必不可少的内容，也是函数值域变化的基础，依据函数定义域为出发按照对应法则就能够确定函数的值域.在解答函数的有关问题时，若能把握住定义域的变化，则可提高解题效率.

求初等函数的定义域,限制因素可考虑如下：

(1)若函数出现分式形式，则分母要求不为零 .

(2)如果函数带有根号，偶次根式的被开方要满足非负.

(3)若函数中含有对数形式，其真数部分要求非负数.

(4)y=tanθ中，θ≠kπ+π/2,k∈Z.

(5)x0中x≠0等.

1.直接求定义域问题

解 要使函数有意义，必须：5-x2≥1,

解得-2≤x≤2.

2.定义域的逆向问题(已知定义域求参数问题)

定义域是R，求实数a的取值范围.

(1)当a2-1=0且a+1≠0时，a=1，此时f(x)=1,定义域是R.

a2-1≠0时，有

∴综上所述，当x∈R时，使得f(x)有意义的a的取值范围是[1,9].

3.复合函数定义域问题

例3 若函数f(x)的定义域为[-1，1]，求函数f(3x-1)的定义域.

解 因为函数f(x)要满足x在[-1，1]内取值，函数才有意义，则函数f(3x-1)必需也要求函数自变量3x-1在 [-1，1]内取值，即-1≤3x-1≤1,解出x的取值范围[0，2/3]就是复合函数的定义域.

二、函数值域的求法

函数的值域是指当自变量取遍定义域上的每一个值时，函数值的取值范围，其几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.函数的值域是近几年高考考查的重点内容之一，也是考试的热点和难点之一，函数值域的求法有很多种，以下是几种函数值域最常见的求法.

1.单调性法

运用函数的单调性求解函数的值域，此类题型是在得到函数某一具体的或者限制区间上，或求解具体函数定义域的取值范围，结合这个函数的特定区间增减性，求出其函数在此段区间端点的函数值或者区间内的最值或者极值，经过对比比较，进而可确定这段区间函数的值域.

2.换元法

若函数中出现无理函数或超越函数，可通过换元转化为简单函数.

例7 求函数y=sin2x-sinx+1(x∈R)的值域.

3.判别式法

对于二次分式的值域就可以用判别式法．

解 将函数式去分母，化为关于x的一元二次方程

(y-1)x2-x+(y-1)=0.

(2)当y=1时，x=0.

4.图象法

一般用在带有绝对值符号的函数，先分段表示，再作图.

5.分离常数法

求解高中数学初等函数的定义域和值域问题所涉及的知识面非常广，方法也是灵活多变，也是近年高考的热点和难点，因此同学们应该灵活运用方法，多做题训练，这样才能收到化繁为简，事半功倍的效果.

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