圆锥曲线高考命题的热点变迁

赣南师范大学数学与计算机科学学院(341000) 曾建国

圆锥曲线高考命题的热点变迁

赣南师范大学数学与计算机科学学院(341000) 曾建国

随着新课程的推进、高考改革的不断深化,数学高考题命题的热点也随之变化.考察课改前后高考解析几何大题命题的情况后发现,高考圆锥曲线大题命题热点的变迁过程呈现以下特点:双曲线大题淡出“江湖”;定点定值问题逐渐升温;轨迹问题考查热度不减;极线背景已成为命题新宠.

圆锥曲线;高考命题;热点

随着新课程的推进、高考改革的不断深化,数学高考命题也经历了全国大纲卷、分省自主命题、新课程卷等改革历程,数学高考题命题的热点也随之变化.作为高考解析几何大题命题的主要内容形式—圆锥曲线大题,其命题的热点及变化规律一直以来都备受人们关注.本文主要考察高考数学圆锥曲线大题命题热点的变迁过程,对近年来圆锥曲线大题命题的特点、热点作一个回顾和总结,供读者参考.考虑到节省篇幅及试题的代表性,除特殊注明外,本文讨论的高考题均为理科试题.

1.双曲线大题—淡出“江湖”

考察三种圆锥曲线—椭圆、抛物线、双曲线在高考解析几何大题中出现的情况,我们发现,课改(2004年)前后有明显的差异和变化(以全国卷为例):

课改前的解析几何大题,呈现椭圆、抛物线、双曲线轮番上阵的规律.如表1、图1可以看出,课改前这三种圆锥曲线在解析几何大题中出现的次数大致相近.(∗1999年试题为含参数的二次方程讨论参数的取值使二次方程为椭圆、抛物线和双曲线.)

图1 课改前内容分布

表1 课改前解析几何大题内容分布情况

表2 2004—2016全国卷I解析几何大题内容分布

图2 全国卷I内容分布

图3 全国卷II内容分布

而在新课程高考数学试卷解析几何大题中,抛物线、椭圆、双曲线三分天下的状态就不再出现,双曲线逐渐淡出解析几何大题的“江湖”.其根本原因是高中数学新课标及新课程高考考试说明发生了变化.课改前的“大纲”中,双曲线与椭圆、抛物线在考查要求中处于平等地位,而在高中数学新课标及新课程数学高考考试说明中,双曲线的考查要求降低为“了解其定义、图形及标准方程;知道它的简单几何性质”[1].从表2、图2可以看出,在2004年新课程实施后的高考数学全国I卷中,椭圆和抛物线试题已成为解析几何大题的主角,而双曲线逐渐淡出解析几何大题的“江湖”.而在全国II卷(新课标卷)中,解析几何大题已不见双曲线的踪影,与此同时,涉及圆的解答题较课改前则有所增加(见表3、图3).

表3 2004—2016全国卷II解析几何大题内容分布

2.定点定值—逐渐升温

涉及定点定值问题的试题,其结论揭示了运动变化中的不变性,展现了数学的美.这类试题由于其综合性较强,求解过程往往需要应用到多方面的数学知识及数学基本思想和方法,因此考查定点定值的试题难度较大,一般具有较好的区分度.新课程高考解析几何大题中,定点定值问题颇受命题者青睐,呈现出逐渐升温的趋势.

在课改前的1990-2004年全国卷中,仅出现过1次定点问题,且试题比较简单:

例1(2001年全国卷理19题)设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明直线AC经过原点O.

新课程高考解析几何大题中,定点定值问题逐渐多起来.以全国卷为例,在2004-2016年全国卷I中出现了4次;全国卷II中出现了2次,所考查的内容如表4、表5所示:

表4 全国卷I解析几何大题考查的定点定值问题内容

表5 全国卷II解析几何大题考查的定点定值问题内容

随着自主命题的省市区增多,定点定值问题在解析几何大题中出现的频率也越来越高,甚至可以说“层出不穷”.由于近年来全国高考数学试卷数量庞大,我们仅考察近6年高考数学试卷(2011-2014年,全国高考数学理科试卷每年大约有19-20套;2015年16套;2016年9套)中解析几何大题涉及定点定值问题的情况.

表6 近6年高考解析几何大题考查的定点定值问题内容

图4 近6年解析几何大题考查定点定值问题的省市区个数

从表6和图4(图4统计时已将使用全国卷的省市区个数累加起来)可以看出,解析几何大题对定点定值问题考查有两大特点:

一是逐渐升温.在近6年高考数学试卷中,解析几何大题中出现定点定值问题的试卷大约占所有试卷的30%,最多的一年是2012年,共有8份试卷出现定点定值问题,占比达40%.值得注意的是,采用全国卷的省市区分别增加到18个和26个的2015年和2016年,全国卷均出现了定点定值问题,2015年、2016年高考解析几何大题考查定点定值问题的省市区分别达到21个和11个(图4),足见命题者对定点定值问题的青睐,应引起使用全国卷的省市区高度重视.

二是考查的题型、形式和内容丰富多样、推陈出新.从题型看,有证明题也有求解题,有开放型问题也有封闭型问题.从考查的形式和内容看,定值问题的形式丰富多样自不必说,定点问题除了诸如:动直线(曲线)过定点、动直线(曲线)交于定点、动点在定直线上等常见的考查形式外,近几年的考查形式不断创新,如:2015年全国卷I、北京卷探求“是否存在定点使两个相关的动角总相等”(见例2)、2015年湖南卷“证明动三角形恒为钝角三角形”,2014年福建卷探求“是否存在一双曲线与动直线总相切”等.由于这些试题仍属于探求几何元素在运动变化中的不变性质,因此将它们归为“定点问题”是恰当的.

例2. (2015全国卷I理20)在直角坐标系中,曲线与直线y=kx+a(a＞0)交与M,N两点. (I)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (II)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

3.轨迹问题—热度不减

轨迹问题就是探求曲线的轨迹方程,即求曲线上动点坐标所满足的代数条件.课改前,轨迹问题就在高考数学试卷中频繁出现,全国卷在2000年之前压轴题都是解析几何大题,其中1985、1986、1991、1993、1994、1995、1999年压轴题均为轨迹问题,可见那时轨迹问题已相当“热”.2001-2004年4年中全国卷仍有2年(2002年、2003年)的解析几何大题涉及求轨迹方程.新课程实施后,轨迹问题这一热点的热度并未减退.表7统计了2005-2016年解析几何大题考查了轨迹问题的高考数学试卷.

我们将表7中使用全国卷I的省市区个数累加起来进行统计,新课程高考解析几何大题考查轨迹问题的省市区个数如图5所示.

表7和图5表明,近年来,轨迹问题作为高考解析几何考查的一个热点,其热度不减当年.众所周知,探求动点的轨迹方程是解析几何的难点之一,而全国卷I被公认为是新课标全国卷中难度最大的一套试卷,在2005-2016年中,全国卷I就有4次(2006、2011、2013、2016)解析几何大题考查了轨迹问题,这值得使用全国卷I的省市区老师们特别关注.

图5 解析几何大题考查轨迹问题的省市区个数

4.极线背景—命题新宠

早在公元前4世纪古希腊数学家就开始研究圆锥曲线,可想而知,经过两千多年,圆锥曲线的性质已被研究得如何完善了.近几十年来的高考又被人们不断研究、挖掘,命制的圆锥曲线高考题及模拟题可以说已经形成了题海.现在想要命制有新意的高考圆锥曲线大题其实很不轻松.于是人们另辟蹊径,寻找圆锥曲线命题的新素材.

近年来,人们开始挖掘高等几何的二次曲线理论中的一些素材来命制高考圆锥曲线大题.高考试卷中具有极线背景的圆锥曲线试题越来越多,可以说极线已成为高考解析几何大题的命题“新宠”.此类试题一般依据二次曲线极线的定义、极线的性质以及极线的作图来构造问题,下面举例说明这一新的命题热点.

4.1 依据极线定义命题定义1[2]设两点P、Q的连线与圆锥曲线Γ相交于M1、M2,如果M1、M2被P、Q调和分割(即这里的线段均为有向线段),则称P、Q关于圆锥曲线Γ成调和共轭.

定理1[2]一点P关于圆锥曲线Γ的所有调和共轭点的轨迹为一条直线p,称p为点P(关于Γ)的极线,点P称为直线p(关于Γ)的极点(简称为极).

特别地,圆锥曲线焦点的极线就是与之对应的准线.当P在Γ外时,其极线p是曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线).

(I)求椭圆C的方程;

评注此题(II)中的换成有向线段就如定义1所述的:Q是P关于椭圆的调和共轭点,根据定理1知:点Q的轨迹是点P关于椭圆的极线.根据极线的定义命题还可以有多种变化,如定义1中,当PQ经过有心圆锥曲线Γ的中心O时(PQ与Γ交于点R),有[4]:P、Q关于曲线Γ成调和共轭⇐⇒OP·OQ=OR2.全国卷1995年的圆锥曲线大题就是依据这一特殊情形命题的.

4.2 依据极线性质命题极与极线具有奇特的对应关系,如下所述:

定理2[2,3,4](配极原则)点P关于圆锥曲线Γ的极线p经过点Q⇐⇒点Q关于Γ的极线q经过点P;直线p关于Γ的极点P在直线q上⇐⇒直线q关于Γ的极点Q在直线p上.

由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

据此性质,可以构造有关圆锥曲线的各种共线点、共点线及轨迹等问题.

例4(2008年山东理22)如图6,设抛物线方程为x2=2px(p＞0),M为直线y=−2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.

(I)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;

图6

(II)已知当M点的坐标为(2,−2p)时,求此时抛物线的方程;

(III)略.

例4中,M在定直线l:y=−2p上移动,根据定理2知,其极线AB必过定点(直线l的极,如图6).这一特殊关系解题者不一定清楚但命题者应该是清楚的.

像这种具有极线性质背景的圆锥曲线高考题还有许多,如:2005年江西卷理22题、2006年全国卷(II)理21题、2010年江苏卷理18题等.

4.3 依据极线作图命题

下面的定义给出了极线的尺规作图方法:

定义2[2,4]如图7,P是不在圆锥曲线上的点,过P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过P点的切线即为极线.

图7

图8

定义3[4](极线方程公式)已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则点P(x0,y0)与直线p:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是Γ的一对极与极线.由上述公式易知,圆锥曲线对称轴上的点的极线垂直于该对称轴(参见图8).

高考命题时常选取焦点与准线这一极与极线的特例、并且选择特殊情形的构图来构造试题,因为这样设计可简化运算、使解题难度适中.

图8中的两割线关于圆锥曲线的一条轴对称,点F与直线l是一对极与极线.这种特殊的构图在圆锥曲线高考大题中出现过多次,如:2004年天津卷理科22题(例5)、2008福建卷文22题、2010全国卷I理21题、2015年全国卷I理20题、2015年四川卷理20题.

例5(2004年天津卷理科22题)如图8,椭圆的中心是原点O,它的短轴长为相应于焦点F(c,0)(c＞0)的准线与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程及离心率;

下面的试题选取了另一种特殊情形的构图—取图7中的一条割线恰为圆锥曲线的一对称轴.除了下面的例6、例7外,2013年江西卷文20题也采用了此图.

例6(2011年四川卷理科21题)如图9,椭圆有两顶点A(−1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(II)当点P异于A、B两点时,求证:为定值.

图9

图10

例7(2012北京卷理科19题)已知曲线C:(5−m)x2+ (m−2)y2=8(m∈R).

(I)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;

(II)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(图10),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.

从圆锥曲线极线的定义及作图的角度看,上面几道试题中的某些结论(如例5与例7欲证的三点共线)是显而易见甚至是不证自明的,而应用高考范围内的方法解决此问题时,就具有一定的难度,其运算量也恰到好处.在高观点指导下圆锥曲线试题的构造相对轻松些,其初等解法又符合高考考查范围且难度适中,也许这就是具有极线背景的圆锥曲线大题在高考命题中逐渐热起来的缘故.

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[s].北京:人民教育出版社,2003

[2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1998

[3]邵琼.极点与极线背景下高考圆锥曲线试题研究[J].中小学数学(高中版),2016(4)

[4]王文彬.极点、极线与圆锥曲线试题的命制[J].数学通讯,2015(4)