细品复数的“交汇性”

■江西省赣州中学高二(3)班 杨昊川

细品复数的“交汇性”

■江西省赣州中学高二(3)班 杨昊川

复数是高中数学的选修内容,它能与其他数学知识自然交汇,使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,令人赏心悦目,下面举例说明。

一、复数与简易逻辑的交汇

已知i为虚数单位,a∈R,复数z =(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的( )。

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由题知z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,其对应的点M(a+2,a-2)位于第四象限的充要条件为a＜2。故a=1是点M位于第四象限的充分不必要条件。

点评:本题将复数运算与简易逻辑中的充要条件的判断综合在一起,自然贴切,给人耳目一新之感。

二、复数与函数的交汇

则f(f(1-i))等于____。

点评:本题将分段函数的求值问题与复数运算综合在一起,具有一定的难度。

三、复数与数列的交汇

点评:本题考查等比数列的概念、前n项和公式以及复数的运算与虚数单位的幂的周期性。

四、复数与三角的交汇

实数x,y,θ有以下关系:x+yi=3+5co sθ+i(-4+5s i nθ),则x2+y2的最大值为____。

解析：由复数相等得,x=3+5co sθ,y =-4+5s i nθ,则x2+y2=(3+5co sθ)2+(-4+5s i nθ)2=50-40s i nθ+30co sθ= 50-50s i n(θ-φ)≤100。故x2+y2的最大值为100。

点评:本题将复数与三角函数知识结合在一起,主要考查复数相等的概念和三角函数求最值的方法,其中复数相等仅起“媒介”和“传接”的作用。

五、复数与解析几何的交汇

已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2x y+(x-y)i=0(x,y∈R)。当方程有实根时,点(x,y)的轨迹方程是____。

解析：设实根为t,则t2+(2+i)t+2x y +(x-y)i=0(x,y∈R)。

即(t2+2t+2x y)+(t+x-y)i=0。

根据复数相等的充要条件,得:

由②得t=y-x,代入①得(y-x)2+2(y-x)+2x y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2为所求的点的轨迹方程。

点评:这是一道复数与解析几何相结合的问题,当我们“化虚为实”以后,把一元方程转化为二元方程组,消去参数t即得到曲线的轨迹方程。

(责任编辑 徐利杰)