聚焦《推理与证明》中的九类经典问题

■陕西省洋县中学 雍 康

聚焦《推理与证明》中的九类经典问题

■陕西省洋县中学 雍 康

推理与证明是在同学们已有知识的基础上完善了合情推理的两种方式——归纳推理和类比推理,以及数学证明的主要方法——分析法、综合法、反证法等常用方法。上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程,它们贯穿于整个高中数学的学习过程,能使同学们通过学习感受逻辑思维方式在数学以及日常生活中的作用。下面聚焦其经典问题,希望能有益于同学们的学习。

聚焦一：函数性质研究中的演绎推理

(2014年安徽高考)若函数f(x) (x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为

解析：同学们解题时先用周期性再用奇偶数性,最后结合区间上的解析式求值。因为周期是4,且在[0,2]上的解析式为f(x)

点评:已知周期函数在给定区间的解析式,可利用周期性和对称性将所求值化为在已知区间上求值。整个求解过程是从一般到特殊的推理过程,即演绎推理的过程,在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。

聚焦二：复合函数解析式中的归纳猜测

点评:归纳推理是由部分到整体,由特殊到一般的推理过程。在进行归纳时,通过取特殊值计算出几个结果,可以发现一般规律,从而做出合理的猜想,即合情推理。本题以复合函数解析式为载体,考查对递推关系的理解和应用,以及同学们的计算与归纳猜测能力。

聚焦三：“分裂数”中的归纳猜测

(2015年山东淄博市高三模拟)对于大于等于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…。仿此,若m3的“分裂数”中有一个是2015,则m 。

解析：由已给定的前几个自然数的三次幂的分裂中,不难找出规律,即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,m增加1,累加的奇数个数便多1。我们不难计算2015是第1008个奇数,若它是m的分裂数,则1至m-1的分裂中,累加的奇数一定不能超过1008个,[1+2+3+…+(m-1)]＜1008,[1+2+3+…+(m-1)+m]≥1008。≥1008,得m=45。

点评:解决这类问题时,首先观察式子的结构特点,其次观察式子中出现的字母之间的关系,再进行化简或运算。另外要注意对较为复杂的运算式,先不要化简,这样便于观察运算规律和结构上的共同点,有时还要借助等差或等比数列的性质简化求解。

聚焦四：等差与等比数列中的类比推理

(2015年浙江杭州市高三模拟)已知命题:“若数列{an}是等比数列,且an＞0,则数列(n∈N*)也是等比数列。”类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质呢?并证明你的结论。

解析：等比数列n项积的几何平均数类比为等差数列n项和的算术平均数。类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列,则数列cn=也是等差数列。证明如下:设等差数列{an}的公差为d。

所以数列{cn}是以a1为首项为公差的等差数列。

点评:把等差与等比数列进行类比,运用类比思想找出项与项的联系,应用等差、等比数列的性质是解决该题的关键。等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质,一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)。

聚焦五：图形关系中的类比

在圆x2+y2=r2中,AB为直径,C为圆上异于AB的任意一点,则有kAC·kBC=-1,你能用类比的方法得出椭圆=1(a＞b＞0)中什么样的结论呢?

解析：注意图形之间的关系和形式的类比,由圆的几何性质可知AB为直径,C为圆上异于AB的任意一点,则有kAC·kBC= -1。类比到椭圆可以得到椭圆＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A、B,P为椭圆上异于A、B的任意一点,则有kAP·kBP为定值。注意到解析几何的特点,用方程探究这个定值。设A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则点A关于中心的对称点B的坐标为(-x0,-y0),点P(x,y)为椭圆上异于A、B两点的任意一点,则:

点评:图形关系中的类比,找两类对象的对应元素,找对应元素的对应关系,同时注意方法的类比。

聚焦六：数列推理中的综合法

(2014年广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn满足- (n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式;

解析：(1)一般数列由Sn求an时,an=

(2)注意条件的特殊性解方程求Sn,用一般数列的切入点探究通项公式。由S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得:

(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0。

因为an＞0(n∈N*),所以Sn＞0。从而Sn+3＞0,所以Sn=n2+n。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n。

又a1=2=2×1,所以an=2n(n∈N*)。

(3)对通项公式放缩变形重新改写,用裂项相消法求和,也可用观察法证明不等式。

证法1:当k∈N*时

点评:明确一般数列的切入点由Sn求an时大前提正确,对于特殊的小前提Sn=n2+n下求得an一定正确,这就是演绎推理三段论的典型应用,要注意验证a1是否符合后面an的公式,若不符合要单独列出。数列之和的不等式问题,求证时常常先放缩通项使得求和可以裂项相消或用公式求和进而得到所要证的不等式。

聚焦七：不等式证明中的综合分析

设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10。

求证:l o gac+l o gbc≥4l gc。

证明：单一运用综合法或分析法很复杂,本题若两者均用,效果更好。

故原不等式得证。

点评:分析法与综合法各有优势,证明问题时,可结合使用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地解答或证明。两者交替使用,较易成功。这种方法不仅在证明不等式时经常用到,在解决其他数学问题时也常常用到。

聚焦八：新定义问题中的合情推理

(2015年高考湖北卷理科数学)已知集合A={(x,y)x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2) (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( )。

A.77 B.49 C.45 D.30

解析：点集的新定义问题,需要先作出图形,数形结合解题。因为集合A={(x,y) x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素(即5个点),即图1中圆中的整数点。集合B={(x,y) |x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25个元素(即25个点),即图中正方形AB CD中的整数点。集合A⊕B= {(x1+x2,y1+y2)(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整数点(除去四个顶点),即7×7-4=45(个)。选C。

图1

点评:这是一道与集合相关知识的新定义题型。通过给出一个新定义,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求同学们在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,结合图形实现信息的迁移,达到灵活解题的目的。

聚焦九：先猜后证中的数学归纳法

(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明。

解析：由特殊到一般,先猜想再用数学归纳法证明。

(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1)。

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明。

①当n=1,2,3时,不等式显然成立。

②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时不等式恒成立,即:

所以f(k+1)＜g(k+1)。

由①、②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立。

点评:数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,第一步是递推的“基础”,第二步是递推的“依据”,两个步骤缺一不可。在证明过程中要防范以下两点:第一步验证n=n0时,n0不一定为1,根据题目选择合适的起始值;第二步,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用到它,否则就不是数学归纳法。数学归纳法的第二步中要准确把握由n=k到n=k+1时,要证明的结论中到底需要添加(或舍去)哪些项,如用数学归纳法证明某数列问题时,当n=k时有Sk=,则n=k+1时有Sk+1不要弄错。

(责任编辑 徐利杰)