“轻板模型”的特点及扩展

邬剑峰

(宁波市奉化中学 浙江 宁波 315500)

“轻板模型”的特点及扩展

邬剑峰

(宁波市奉化中学 浙江 宁波 315500)

在分析连接体问题时，物体间通常是通过轻绳、轻弹簧、轻杆来连接，但偶尔也会遇到两物体通过“轻板”与物体间摩擦相连接的题目，这类题目有什么特点呢？

下面我们通过一道具体的题目来分析一下“轻板模型”的特点.

【例1】一个质量可忽略不计的长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为mA=1 kg和mB=2 kg的A，B两物块，A，B与木板之间的动摩擦因数都为μ=0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图1所示(最大静摩擦力大小可看成等于滑动摩擦力大小，重力加速度g取10 m/s2)．则下列说法正确的是( )

A．若F=1 N，则A和B都相对板静止不动

B．若F=1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N

C．若F=4 N，则B物块所受摩擦力大小为2 N

D．若F=6 N，则B物块的加速度为1 m/s2

图1 例1题图

解析：求解这道 题目关键是要弄清楚“轻板”在两物体运动过程中起到了什么作用？具体一点说：当外力发生变化时，“轻板”受力情况如何变？其加速度和速度又如何变？要讲清这些问题首先要理解“轻”这个字的物理意义，在物理学里“轻板”是一种理想模型，表示该板的质量可以认为是“零”，也就是说，当“轻板”所受的合力不为零时，其加速度可认为是无穷大，所以，我们可以理想地认为，“轻板”的速度瞬间可以变到与其中一个物体的速度一样大，而与该物体保持相对静止，从而进一步可以认为“轻板”是该物体的一部分．那么“轻板”跟哪个物体可以看成是一个整体呢？

下面我们具体来分析一下例1，A与B两物体是借助与“轻板”间的摩擦力相连接的，物体A与“轻板”的最大静摩擦力为

μmAg=2 N

物体B与“轻板”的最大静摩擦力为

μmBg=4 N

物体A的加速度

其加速度aA随F增大而增大，而物体B的加速度

其加速度aB随fB增大而增大，当fB增大到最大静摩擦力时，加速度aB达到最大值，那么当F从零开始增大时，物体A和B先保持相对静止，以相同的加速度a做匀加速直线运动，随着加速度a逐渐增大，物体A，B与“轻板”间的静摩擦力也开始逐渐增大，一但当物体A与“轻板”静摩擦力达到最大静摩擦力(2 N)时，物体A将与“轻板”发生相对运动，而此时“轻板”与物体B的静摩擦力也为2 N，且小于它们间的最大静摩擦力，故“轻板”与物体B仍保持相对静止，此后，aA随F增大而增大，而物体B以恒定的加速度aB做匀加速直线运动，如果“轻板”足够长的话，在整个运动过程中，“轻板”始终与物体B保持相对静止且随B做匀加速直线运动．

根据上面分析可知“轻板模型”的特点是：借助“轻板”摩擦力相连接的两物体间，当他们的运动状态发生变化时，“轻板”会始终与最大静摩擦力大的那个物体保持相对静止．故当A与板间摩擦力达到2 N时，A与木板开始相对滑动，B与木板仍保持相对静止，此时A，B的加速度大小都为

则拉力的大小为

F=fA+mAa=3 N

当F≤3 N时，A，B都相对木板静止且以共同加速度运动，故而选项A正确，选项B错误；

当F>3 N时，A相对轻木板滑动，B相对木板静止，也容易分析出选项C，D正确．

扩展1：如图2所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦．现将质量分别为M，m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上．两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有( )

A．两物块所受摩擦力的大小总是相等

B．两物块不可能同时相对绸带静止

C．M不可能相对绸带发生滑动

D．m不可能相对斜面向上滑动

图2 扩展1图

解析：因为是轻绸带，其特点与上面分析的轻木板的特点是一样的，故不管M，m的运动状态如何，轻绸带所受的合力一定为零，且轻绸带一定跟静摩擦力大的那个物体始终保持相对静止，故选项A，C正确，当倾角α较小时，容易分析出物体与绸带的摩擦都是静摩擦，因为M的重力沿斜面的分力较大，所以M带着轻绸带沿斜面向下加速，而轻绸带拉着m沿斜面向上加速，故选项B，D错误．

扩展2：倾角为37°的光滑斜面上固定一个槽，劲度系数κ=20 N/m，原长l0=0.6 m的轻弹簧下端与轻杆相连，开始时杆在槽外的长度l=0.3 m，且杆可在槽内移动，轻杆与槽间的滑动摩擦力大小为Ff=6 N，杆与槽之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．质量m=1 kg的小车从距弹簧上端L=0.6 m处由静止释放沿斜面向下运动．已知在本次碰撞过程中轻杆已滑动．取g=10 m/s2，sin 37°=0.6．

关于小车和杆的运动情况，下列说法正确的是( )

A.杆刚要滑动时，小车已通过的位移为0.6 m

B.杆刚要滑动时，小车已通过的位移为0.9 m

C.小车先做匀加速运动，后做加速度逐渐增大的变加速运动

D.小车先做匀加速运动，后做加速度逐渐减小的变加速运动，再做匀速直线运动

图3 扩展2图

解析：轻杆与轻木板的特性也是一样的，通过分析也可得出以下结论.

在弹簧压缩过程中，当弹簧的弹力和轻杆整体受到的静摩擦力相等的时候，轻杆开始滑动，此时由平衡得弹簧压缩量公式为

Ff=κΔx

6=20Δx

解得

Δx=0.3 m

所以杆刚要滑动时小车已通过的位移为

x=Δx+L=(0.3+0.6) m=0.9 m

故A错误，B正确；

一开始小车受恒力向下做匀加速运动，后来接触到弹簧，合力逐渐变小，于是做加速度逐渐变小的变加速运动，借助轻弹簧和轻杆的作用，当轻杆整体受到的静摩擦力和小车重力沿斜面向下的分力平衡时，小车开始做匀速直线运动，故C错误，D正确；故选：B,D．

从上面分析可知，轻板(轻绸带、轻杆)的特点可理想地看成始终处于受力平衡状态，其难理解之处是尽管它们处于受力平衡状态，但其运动状态可以是匀速运动(或静止)状态，也可以是匀变速直线运动状态，根据这一特点来分析相应问题，对应的问题就变得容易理解了．

2016-10-14)