浅谈数学的语法结构及其人文特征

廖基定+王会兰+刘冬元

摘要：数学是一门科学，也是一种语言。数学的语法结构表现为通过逻辑连词、量词、否定、自由和约束等语法生成的基本概念（如集合、函数、关系及二元运算等）；数学的人文特征表现为三种形态：学术形态、生活形态及教育形态。学术形态上“冰冷而美丽”；生活形态上“朴素而动人”；教育形态上需要引发“火热的思考”。帮助学生数学地理解、数学地表达是数学教育的重要目标。在教学中引入生活形态的数学语言可以激发学生的“火热思考”。

关键词：数学语言；语法结构；人文特征

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）19-0098-04

引言

美国数学家M.克莱因说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”这段话一方面阐述了数学作为一种文化几乎渗透到了世界的每个角落，另一方面也说明了数学是一種表达世界的模式，故有科学王国的“女王”之称。数学家卡尔森（A.Coulsbn）也曾这样写道：“数学是一种语言，具有一种语言的所有魅力和用处，但是它比更传统的语言还多了一条优点，即它是一种可以对我们的世界给出任何科学描述的语言。”因此，帮助学生数学地理解、数学地表达是数学教育的重要目标。美国数学教师全国委员会也将“学会数学地交流”列为学校数学教育的五个基本目标之一。

对于“数学语言”及“数学教学语言”，国内外已有一些学者对它们进行了一些很有意义的研究，但大多集中在对“数学语言”及“数学教学活动中的语言”的“主要特征”的描述之上，很少有人对作为语言的数学之语法结构进行系统地剖析（这也是非常困难的）。下面我们从数学的语言属性粗浅地谈谈数学的语法结构及其主要的人文特征，以期更好地理解与欣赏数学文化内涵，从而更有成效地进行数学教育。

一、数学语言及语法

具体地说，数学语言是表达数量、空间形式的性质和相互关系的符号体系，或者说是由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的符号语言。数学语言与普通语言有很多相似的地方，比如“词类”“语法”等要素。《普林斯顿数学指南》中，作者提出数学语言是由基本概念、初等逻辑外加形式化的程度来刻画的。我们循着这条思路谈谈数学语言的大致结构。

（一）基本概念

1.集合。集合是一些对象的集体，它有一个最基本的动词“属于”。数学语句几乎都可以用集合的用语来书写。比如，“A是什么”可用“A∈某个集合”来表达。数学上的一个大进展是用笛卡尔坐标来实现几何与代数的互译。比如：“圆心在原点（0，0），半径为1的圆周”（几何图形的描述），可以用平面点集{（x，y）|x■+y■=1}（代数形式）来表示。显然，几何表示直观、自然；代数表示简洁、抽象。集合的三种表达方式正体现了数学语言的主要模式：文字、符号、图形。

2.函数。数学上最基本的活动之一是取出一个对象再把它变换成另一个同类或不同类的数学对象5。我们把这个过程（理解为过程）称之为“函数”。说f：A→B为一个函数，若记f（x）=y，则表示f把A中的元素x变成B中的对象y。要确定一个函数，必须同时确定定义域A与值域B，一个由集合A到集合B的函数就是一个规则。函数很大程度上体现了数学是表达现实世界量与量之间关系的学科属性。如果我们把f看成过程，式子f（x）=y与y=f（x）在普通意义的语法上好像有点小区别：前者刻画的是“将x按规则f变成了y”，强调的是动作；而后者表达的是“y的值与x在规则f之下变来的值相等或一样”，强调的是状态。这样，我们就不难理解大多数中学生，往往把函数理解为“函数值”。然而在数学上，这两个式子并没有区别，因为它们刻画的都是一种特殊的“等价关系”。

既然把函数看成一个过程或一种规则，若想解除函数f：A→B作用，则只要A中的x，x'不同时，f（x）与f（x'）总不同（单射）；要想找到一个函数，其作用能被f解除，则只要B中的每一个元素y都有A中的一个x满足y=f（x）（满射）[5]；故f存在可逆变换时，要求它既是单射又是满射，f的逆变换仍然是一个函数。

3.关系。关系是按照某种次序组成的数学对象5，比如等价关系，从属关系，大小关系等。数学中“关系”是数学形式化的又一体现。把本质上相同的不同对象看成相同的，就避免了过多的同类。比如数学中的“等价关系”它具有自反性，对称性与传递性。以此可判断几何中两图形的“相似”、模运算中的“同余”都是等价关系。与函数概念一样，一个关系总是与对象的一个集合关联在一起的。如分别在集合A={2n|n=1，2，3，…}与B={3n|n=1，2，3，…}上进行模运算mod3，得到的结果是不同的。

事实上，数学的定义都可看成特殊的等价类。比如令A={邻边相互垂直的平行四边形}，则“矩形”可看成定义在A上的等价类，当然，它也可看成是B={对角线相等的平行四边形}的等价类。因此可用数学语言表达为：矩形～A～B。在这里，等价关系是按照概念次序“是矩形”构成的。从语法上说，“关系”的词性就像自然语言里的形容词。

4.二元运算。集合A上的一个二元运算就是集合A上的一个函数，只是定义域是元素对所构成的集合{（x，y）|（x，y）∈A}，比如“x+y”就可记作“+（x，y）”。当然，在对含有一个二元运算的句子进行操作时，有四种性质或要素需要考虑：可交换、可结合、定义域、恒等元或逆元，二元运算的这些性质是生成抽象代数基本结构的基础。

（二）初等逻辑

1.逻辑连词。最常用的逻辑连词是“∧（且）”“∨（或）”“？圯（蕴含）”。记P、Q为两个命题，比如把“他去”记作P，“你去”记作Q。“P∧Q”表达的是“当且仅当P、Q二者均为真时，它才为真”，即两人都去。“P∨Q”表达的是“只要P为真或Q为真，它就真”。这里也包含了二者同时为真，与日常生活的口语有点不同。口语中的“他去或者你去”往往指的是两人中的一人去，而从数学的角度看，也可以是两人都去。

对于“P？圯Q”，数学上表达的是“只要P成立，那么Q一定成立”，也就是说，P不成立时Q也可以成立。我们把P称为Q的充分条件。但在日常生活中，“如果他去，你就去”往往隐含了另一层意思“如果他不去，你也不能去”。这句话容易使一些数学逻辑学得好的人钻空子，打打擦边球的话可以“他不去，你也去”。因此若要强调“如果他不去，你也不能去”，文字上可以表达为“只有他去，你才能去”；数学符号上可用“Q？圯P”来表示（P是Q的必要条件）。于是数学符号“P？圳Q”可以表达“只要他去，你就去；只有他去，你才能去”，最终两人同时去或者同时不去。两个互为充要条件的命题的等价性由此可见一斑。

2.量词。诸如“所有的”“有一些”“任意一个”“每一个”以及“没有一个”这样的一些词语都称为量词，在日常生活中，这些词很容易产生歧义。下面两句话：

“没什么比健康快乐更重要！”——健康快乐比所有的东西都重要！

“没什么可说的！”——不存在东西可说！

同样的“没什么”三个字含义大不一样。一个与“所有”相关，一个与“存在”有关。在数学上，只用两个量词“？坌（对于所有的，对任意的一个，对每一个，forall）”和“？埚（存在，thereexist，forsome）”就表达了上述所有可能产生歧义的量词。再加上连词“使得（suchthat）”，就能把很复杂的日常语言或数学语句写成高度符号化的形式。

“每个人都有一种爱好，就是旅游；”——证明（不一定对）

“每一个人都有一种爱好，我喜欢旅游。”——宣称

如果记p为人，L为旅游，上面两句话可以分别用数学符号表示为：

？坌p，？埚L∈{爱好}，s.t.p喜欢L；

？坌p，？埚a∈{爱好}，p喜欢a，我喜欢L。

当然，现实中如果这样表达的话，不免会有卖弄数学知识之嫌。

反过来，有了这两个符号（？坌，？埚）的规定，我们也能把抽象的符号语言转化为文字语言。比如，若令P为素数集，以下两句话均表达了素数的相关性质，但侧重点不同。

（i）？坌n，？埚m，（m>n）∧（m∈P）；——表明了素数的个数是无穷的。

（ii）？坌a，b，（ab=m）？圯（a=1）∨（b=1）；——表明了素数是个只能分解为1和它本身两个因数的数。

当然，这里的a，b，n和m都是自然数。可见，量词“？坌，？埚”都是取量于集合之上的。

3.否定。对命题P，？劭P是对P的否定。表达的是“若P为真，则？劭P不真”。数学上的否定相比于普通意义上的否定要严格。比如：对于命题“这个班都是女生”，若令r：人，C：这个班级，G：女孩，则可用数学符号将这句话表达为“？坌r∈C，r∈G”。而普通意义上一般有两种否定模式，即：若把整个班级这个集合看成个体，它的否定形式为“这个班都是男生”；若把班级（集合）中的人（元素）看成个体，其否定形式为“这个班至少有一个男生”。数学上的否定是把集合中的元素看成个体，即“？劭（？坌r∈C，r∈G）”应为“？埚x∈C，x？埸G”。在这里，我们看到了数学意义的严格性而避免了自然语言的歧义性。

4.自由和约束变项。代表一个可以变化的数学对象的字母称为变项。可以自由表示的特定的项称为自由变项；并不代表某一特定对象的变项（往往出现在量词之后）称为约束变项或哑变项[5]。比如：前面素數定义（ii）中的m代表的是未曾指明的一个定数，即“任意”（自由）的素数，故称之为为自由变项。而等式∑■■f（m）=f（1）+f（2）+f（3）中左边的m并不代表具体的数，但为从1到3的“这些”自然数，是约束变项。由于变项的引用，我们才发展了一种如方程式方法这样非常有效的解决数学问题的方法。

（三）形式化的程度

从上面看出，由几个集合论的概念与逻辑连词就能把通常的数学命题表示出来。一方面，数学语言的口语可能更人性化，但却可能导致不可接受的不精确；另一方面，完全形式化的符号语言虽然简洁而准确，但使人读起来很耗费精神。最理想的办法是用一种对读者友好的尽可能容易接受的语言表达写作，并且确信读者在认为有必要的时候，能够使写的东西比较形式化。也就是说，数学形式化的程度要适应阅读对象的数学经验与训练水平。比如：“这个班都是女生”，如果不是在特定的数学环境之中，一般不会用“？坌r∈C，r∈G”来表示，虽然我们欣赏到了其中的简洁美、抽象美。然而，尽管文字语言表达可能更为直观，当需要运用计算机程序来证明某个命题时，往往会追求更高程度的形式化，如“每个非空正整数集合都有一个最小元素”用数学符号语言可表示为：

？坌A？奂N，（？埚n∈N，n∈A）？圯？埚x∈A，？坌y∈A，s.t.（y>x）∨（y=x）.

二、数学语言的人文特征

上述数学语法的粗略介绍让我们对数学语言的特性有了总体上的把握。当然，作为一种语言，数学有着其独特的人文特征。康仕慧提出的“数学的本质是依赖语境的概念”表达了数学的语言形态与语境是密切相关的。这里的“语境”我们理解为：理论与技巧的关系、抽象与直观的关系，基础的宽厚程度，数学普及与提高的要求以及对隐藏在形形色色的公式和定理后面的精神世界如何揭示等。因此，不同“语境”之下的数学概念（数学对象）的表达会有一定的差别。我们沿用张奠宙先生将数学知识分为学术形态和教育形态的方法，将数学语言（或数学知识）分为三种形态：学术形态、生活形态与教育形态（我们在这并不追求分法的严格性，因为三种形态并不是孤立地，往往有交叉成分）。这里所说的数学生活形态，即用生活语言来表达数学概念或用数学概念来表达生活原理的模式下面简要谈谈数学语言在这三种形态之下的主要特征。

（一）学术形态——简洁、精炼，高度抽象与形式化，具有规范性与通用性

与一般语言相比较，数学语言倾向于模式化、符号化，在概括数学对象及数学结构的属性过程中，舍去了具体事物的几何、物理等方面的特性，只留下它的空间形式和数量关系。因此，数学语言更为简洁、精炼，也更为抽象与形式化。也正因为如此，使得数学成为科学世界规范而通用的语言成为可能。然而，数学语言的简洁性、抽象性所带来的美感难免与高度形式化所带来的冷峻相伴相生，正如H·弗赖登塔尔所描述：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”于是大多数情形之下我们感受到的是数学学术形态“冰冷的美丽”。

（二）生活形態——直观形象，简洁深刻，容易让人接受，但兼具模糊和不确定性

皮姆提倡的社会建构主义学习心理学认为，学习主要地应被看成一种社会行为，而这不仅是指个体与群体之间的积极互动，而且也是指个体对整体性文化的继承，即人的认知过程是一个整体，对科学的、人文的、生活的种种认识交织在一起。将抽象的数学概念用个人已经历的以及精神生活之中的人文“意境”来“比喻”，能把复杂的问题形象化；通过生活中的“原形”找到思维的契合点，实现数学思维的建构。这些朴素而直观的形式更能激发情感上的共鸣，也更容易使人接受。反过来，当一个人对数学的概念有了比较深刻的理解之后，又可以用数学的语言来描述生活现象，包括人的喜怒哀乐。因此，我们能通过生活形态的数学语言感受到数学“动人的朴素美”。浙江大学杰出教学贡献奖“心平奖”获得者数学教师苏德矿教授应邀在校友婚礼上的风趣发言：“他是你的严格递增函数，你的生活一天比一天幸福，一天比一天快乐，一天比一天美好，希望你们的爱情像一条射线，只有起点没有终点。”流传于坊间的“对你的思念是连续的”，过细工作是“微分”，取得成绩是“积分”。这些言语貌似朴素，却寓意深刻，增函数、射线、微分、积分的性质均栩栩如生。当然，“当思想能被直观地描述时，马虎的语言是能被接受的，但是，一件事越抽象，离直观越远，就越需要仔细的语言来描述”。就像上面的“微分”“积分”与数学意义上的概念还是有所区别。因此，生活形态的数学语言有时也难免模糊而不确定。

（三）教育形态——具有明晰性、严谨性及可接受性

数学教育是使数学作为文化，使数学促进人自身发展的基本建设。让学生理解数学知识、学会数学地表达客观世界是数学教育的重要目标。所谓数学语言的明晰性，就是说，在一个具备相容性的数学系统内，符号的使用不应引起歧义，数学思维应该流畅、迅捷而便于创造。所谓严谨性，就是内容的前后衔接，定理、公式进行严格的证明才能确立等。然而，过分强调逻辑或形式化会导致学习者尤其是低年级的学生难以接受。因此，数学语言的教育形态除了要尽量保留数学的学术形态的主要特征之外，还要考虑受教育者的接受能力。

三、“冰冷的美丽”+“动人的朴素”→“火热的思考”

张奠宙先生提出数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，主张将数学与人文意境想融合，构建学生容易理解的教育形态，帮助学生理解教学内容，从而化“冰冷的美丽”为“火热的思考”。其宗旨就是提倡借助社会文明阐述数学的文化含义，或者说借助于数学的人文意境即生活形态来理解数学的学术形态。这无疑是实现数学的教育形态化之有效途径。如何激发学生思考的热情是我们数学教育工作者所面临的共同问题。数学家欧拉倡导的“发现法”教学，主张“讲课时寻点开心，让学生感到惊异”，通过教学生猜想、教学生发现、教学生思想，这也是将“冰冷的美丽”化为“火热思考”的一种重要途径，与张奠宙先生的与“人文意境相融合”有异曲同工之妙，皆强调的是让学生有感情地投入。

“语言是一种弹性工具，在用日常语言表述数学事实时，必须改造它，使它适应教学的需要9。”那么，我们为什么不通过数学语言的各种形态之间的巧妙结合与相互转换，让学生“寻点开心”并“感到惊异呢”？苏德矿教授以遥遥领先的票数被评为浙大最受欢迎的教师，与他善于将生活语言用于数学教学或者将数学概念用到生活之中是密不可分的。可以说，“矿爷”实现了“冰冷的美丽”与“动人的朴素”之巧妙结合，在一定程度上激发了学生“火热的思考”。尽管数学语言的生活形态具有模糊性及不精确性，也不是每位教师都能把握好它们的“结合度”，但这一理念是值得推广的，因为在很多情形之下，并不需要过分强调逻辑与形式化，我们关注的是数学的思想、方法和精神。

因此，如何根据受教育者的年级、专业、基础，优先考虑数学的思想、方法和精神，在此基础上将数学语言的生活形态与学术形态有机结合再转换为教育形态是所有数学教育者应该努力的方向，也是我们面临的一大难题。也许我们可以借鉴苏德矿教授的六字育人心经：“懂、透、精、趣、情、德。”

参考文献：

[1]易南轩.数学美拾趣[M].北京：科学出版社，2008.

[2]郑毓信.数学教育：动态与省思[M].上海：上海教育出版社，2005.

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[4]杨之，王雪芹.数学语言与数学教学[J].数学教育学报，2007，16（4）：13-16.

[5]TimothyGowers主编，齐民友（译）.普林斯顿数学指南[M].北京：科学出版社，2014.

On the Grammatical Structures and Cultural Characteristics of the Mathematics

—Talk a Little about the 'Icy Beauty' and 'Touching Simplicity' of Mathematics

LIAO Ji-ding1，WANG Hui-lan2，LIU Dong-yuan2

（1.Dean's Office，University of South China，Hengyang，Hunan 421001，China；

2. School of Mathematics and Physics，University of South China，Hengyang，Hunan 421001，China）

Abstact：Mathematics is a language as well as science. The grammatical structure of mathematics is reflected by logic conjunctions，quantifiers，negations and some free or constraint variables，which are combined with other basic concepts （such as set，function，relations and binary operation）. The form of cultural characteristics of mathematics is divided into 'academic form'，'lifestyle form' and 'educational form'. 'Academic form' seems to be 'cold and beautiful'，while 'lifestyle form' seems to be 'simple and touching' and educational form need stimulate 'hot thinking'. To help students understanding and expressing the mathematics is an important goal of mathematics education. Introducing the lifestyle language to mathematics teaching may stimulate the students to think intensively.

Key words：mathematics language；grammatical structure；cultural characteristics