城市路灯排布的数学建模及优化分析

李雨珊

摘 要：随着我国国民经济的不断发展，国内各地城市化进程的不断推进，城市照明问题得到了广泛的关注。本文通过对城市路灯排布进行系统的数学建模，将道路两旁的路灯简化为空间直角坐标系的基本光源，通过光照强度空间分布规律的研究，定量地确定了路面上每一点的光照强度，得到光强随不同位置分布的规律，由此进行科学与合理的路灯排布设计。

关键词：路灯排布；光照强度分布；数学建模；照明优化分析

中图分类号：TM923.5 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）04-0228-02

1 引言

随着我国城市化进程的加剧，城市道路照明需求迅猛增加。作为城市规划的重要环节，我国路灯建设缺乏统一的规划。在道路照明规划中，既要考虑路灯排布的美观性，又要考虑光照的合理性。一方面，不能使路面照度过高造成光污染以及不必要的能源浪费，另一方面也不能因为照明亮度过低而影响民众的出行安全。本文主要探讨传统两侧对称排布的路灯建模优化问题。根据点光源空间照度的分布规律，建立了路面亮度的数学模型，并基于数值模型进行了数值求解，得到了在该模型下路面照度的分布规律。在这种数理建模过程中，我们可以进一步地通过优化其分布，得到最为合理的路灯排布方式，在满足人们正常工作和生活的需要下，达到节省电流资源的目的[1]。

2 城市路灯排布的数学建模

本小节主要建立合理的数学模型用以描述路灯照明分布情况。如图1（a）所示，对于A点处的点光源，它发出的光均匀地以该光源为中心向外发散，光照强度在离中心同样距离的位置处均匀分布，照度方向沿径向分布，可见在径向方向上，某点的光照强度与该点到中心光源距离的平方成反比，又考虑到存在偏角的情形，可得光源A其在B点处的照明亮度表达式有：

式（1）中k为量纲单位决定的比例系数，P为点光源的功率，d为点光源到待测点B的直线距离，为光源到点B的光线与水平面的夹角。

基于单光源的照明亮度分布情况，我们能建立如图1（b）所示的模型。前文中已经指出，本小节主要探讨道路两旁路灯对称排布的光照分布情况。事实上，基于类似的数学建模方法，同样可以推广到其他任意形式的路灯排布情形。在图1（b）中，取其中一处光源O1为原点，建立如图1（b）所示三维空间直角坐标系，图1（b）中O1O3为道路的宽度，O1O2为道路同侧相邻两盏灯之间的距离。各光源的坐标如图1（b）所示，每盏路灯的高度均为h，功率为P。由于照明亮度与照明距离的平方成反比，本模型中不考虑更远处的路灯光源在此区间内的照明，由此可得对于图1（b）中O1O2O4O3区域的某一点（x，y，z），同时考虑到此处z=0，可得四个光源在此处引起的照明强度为：

由此可以建立两侧路灯对称分布情形下的路面照明强度分布规律，如下式：

接下来，我们将基于本小节建立的数学模型，进行数值求解过程来分析其在路面上的照明强度分布情况。

3 优化结果与分析

由式（3）所示，如果直接进行数学求解分析路面照度最值将是一个非常复杂的问题。本小节主要提出采用数值求解的方式来探讨路面照明强度分布情况，其基本思想如图2所示，将待研究的区域在O1O2方向上（道路同侧两路灯之间的距离）分为N1份，在O4O3（道路宽度）分为N2份，这样就在待研究的区域上得到了个离散的点，通过获取这些点的坐标代入式（3）中就能得到每一点的光照情况[2]。接下来，本小节将采用计算机程序求解的方式得到O1O2O4O3区域内每一点的照明强度分布图。

在接下来的分析探究中，取路灯功率为2000W，系数k为1，路灯高为5m，道路的宽度为20m，道路同侧两路灯之间的距离为10m，两个方向分别划分100份。由此得到的亮度随空间位置的分布如图3所示，通过描绘每一点处的路灯照度分布情况，可以清晰的建立整个路面照明强度的分布情况。从图3（a）中可见，由于在模型取得的道路宽度是大于路灯间距的，因此从图3（b）中可见，整个路面上照明度最弱的地方分布在路面中央区域。

进一步地，我们提取了道路中轴线（x=10处）的照明强度随着位置y變化的分布情况以及垂直于中轴线（y=5处）沿x方向的分布情况，即图3b中虚线上的照明强度分布情况。所得到的结果分别下图4所示，亮度在两个方向上都是对称分布的，在x方向，亮度最低的点在中间，而在y方向上，亮度最低的点在两侧。由此可得到整个路面在两个方向上照明强度的分布情况。

在实际道路系统中，经过本文的数学建模，再结合确保安全的情况下道路照明最低要求，就能实现对道路两侧路灯排布状况的优化[3]。

4 结语

本文从点光源光强是分布规律出发，对城市道路两侧路灯照明系统进行合理的数学建模，并进一步地通过对路面区域的离散化来进行计算机数值求解与分析，得到了整个路面区域上照明强度的分布情况。这种对路灯系统的数学建模及分析可以推广到各种路灯设计优化中，对道路系统的能源结构优化具有重要的意义，可以在满足人们交通安全和正常工作生活的条件下，达到节省电力能源的效果。

参考文献

[1]高尚.路灯安置优化问题研究[J].数学的实践与认识，2004（34）：1-6.

[2]韩蕴，等.一种城市路灯合理排布的优化设计方法[J].物理学与社会，2007（36）：330-333.

[3]湘照协.我国城市路灯照明节点现状[J].电与社会，2002（11）：6-7.