从教材实例谈如何理解教材教学

管明贵

[摘 要] 用教材教是数学教学的基本准则，但如何教却因人而异. 不少教师在常态课教学中并没有真正领会用教材教的含义，使得学生陷入数学学习的一种恶性循环之中. 笔者结合自己的实践经验以为，脚踏实地地研究教材，思考为什么这么教，理解教材选择例题的重要性，才是一个教师真正成长的标记.

[关键词] 教材教学；数学；函数；素养；建模；图像

从小学数学到初中数学，我们发现学生学习数学的兴趣骤然下降. 这是由很多原因造成的，比如：初中数学需要对数学知识本质属性更进一步的认识，这势必导致数学学习变得相对枯燥；种种升学应试造成的压力，让教师在教学中不敢放手让学生还原知识来源的过程，建构新知的形成途径，要让学生短时间内快速理解知识、掌握知识，还不如通过大量的试题训练来得高效.

这些因素造成初中生数学学习出现了下列问题：其一，对新知一知半解，通过大量训练来理解新知、运用新知，离开了这种训练模式，学生就不会学习数学、不会思考问题；其二，这种训练模式下的数学学习让学生接触的是机械化的操作，对于熟练的问题模型尚等得到分数，但面对以灵活考查能力为主的试题则无从下手；再者，最关键的是学生对学习数学的兴趣已经完全被扼杀了，如今初中生喜欢数学的愈来愈少. 中科大研究所调查显示，若数学竞赛对升学不具备加分作用，百分之九十九的学生都是不喜欢数学竞赛的.

这也从一个侧面反映了初中数学教学陷入了模式化过渡的教学之中. 西南师大陈重穆教授说：形式化是数学的特征之一，模式是数学问题的经典总结，在恰当的范围内运用非形式化手段以及模式识别，对于学生学习数学是高效的途径. 但是，现在初中数学教学陷入了一种模式化过渡的误区，即合理的新知教学也演变成三分之一的新知教学，三分之二的知识训练，这种做法对于学生的数学兴趣和创新性是无益的.

课程标准中明确指出：数学教学旨在培养学生的抽象能力、运算能力、数学建模、数据分析等素养，通过数学知识理解其运用于生活、作用于生活的目的. 如何将教材中的知识做合适于学情的开发，并在教学中进行演绎才是用教材教最好的反馈.

本文以八年级函数一节中一个问题为例，通过教材设计思路研究、教材知识结构研究、教材教学价值研究、学生的认知结构分析等方面来谈谈如何用教材教.

问题情境

苏教版八年级“5.1 函数”一节中的问题：小丽、小明、小亮乘车去旅游.

如图1，汽车在公路上匀速行驶，用t来表示汽车行驶的时间，s表示汽车行驶的路程. 怎样表示s与t的关系？

可以列表表示（如表1）：

可以在坐标系中画图表示（如图2）：

可以列式表示：因为汽车匀速行驶的速度为100 km/h，所以s=100t.

提出问题：变量s是变量t的函数吗？为什么？

通常，表示两个变量之间的关系可以用3种方法：表格、图形和数学式子. 表示两个变量之间的式子通常称为函数关系式，例如s=100t就称为s与t的函数关系式.

教材知识结构分析

教材中对于函数的学习采用了以生活情境为载体的设计，首先让学生明白要学习的函数来源生活，是对生活问题的抽象、是对生活问题本质属性的研究；其次，教材给出了函数表示的三种方法（即列表法、图像法、解析式法，这是函数表示的核心知识），并从函数图像和函数关系式中理解函数是一种变量与变量之间的关系，多维度、多层次、多方面地接触函数概念以及函数的意义和本质属性. 让学生从本情境中感知事物变化的过程以及变量主导的相互关系式，并引导学生思考生活中还有很多问题都具备类似的变量性，因此变量研究是普适性的，成为后续学习的核心. 要将这些变量关系表述出来，该如何利用情境问题中的三种表示方法进行渗透，这成为后续揭示事物变量关系规律的核心手段.

教材设计思路分析

对于用教材教，教师还需要深刻理解教材为什么这样设计. 可以从三个方面分析：

（1）我们回到问题情境，学生从问题中比较容易理解：在速度为定值的情况下，路程和时间成一定的变量关系，这是启发变量思维形成函数概念的一个关键节点.

（2）表格的作用在于将这种变量关系的展示直观化、具象化，使学生明确这种变量关系的直观性. 同时表格还可以清晰地展示变量之间的联系，即速度是定值，这种以图表形式表达变量关系的方式是函数表达的重要手段，但是时间t的选择往往以整数形式较为方便，暗示了以表格方式表达变量关系的局限性.

（3）图像是变量关系最直觀的体现，教材以图形展示位移和时间的关系，其设计明显有两个用意：其一是了解图像是表示变量关系的主要手段，从图像变换中理解不同变量模型具备不同的图像变换；其二是图形化让变量关系的研究成为一种直觉，即数形结合思想在函数学习中的不断渗透.

从教材给出的问题，我们清晰地掌握了其基本教学意图：掌握变量关系的三种表示方法，即列表法、图像法、解析法，这是函数表示的基本构成；从情境问题中理解特殊到一般研究方法的重要性，数形结合思想贯穿始终.

教材的教学价值分析

函数是中学数学最重要、最核心的数学概念，教材的问题设计正是基于这样的考虑. 教师要学会理解和体会教材中问题的价值，才能理解为什么要用教材教.

1. 引入问题的主要目的是向学生渗透变量间关系的三种表示方法，这为学生后续研究类似问题、理解生活中普遍存在的函数关系奠定了研究基调，即图像法和列表法可以直观地研究变量关系，解析式法可以将这种关系数学化，这是教学价值一.

2. 在以往中学数学双基的基础上，初中数学又强调了基本活动经验和基本数学思想，教材问题的教学价值二恰好在此处体现出来. 基本活动经验体现了本问题的数学现实之用，基本数学思想可以从特殊到一般、数形结合思想上得到体现.

3. 价值三也是教材最想告诫教师在教学中应该关注的一点：学习数学最主要的目的是什么？是为生活、生产实际服务. 在看不到数学的地方，找到数学知识的运用和价值，是教师需要向学生进行渗透的. 这种在建模中不断“思考——抽象——再思考”的过程，是数学学习的重要方式.

学生认知结构分析

1. 常量思维动态化

勒温认为“学习即认知结构的变化”. 可以这么说，学生对于路程和时间的关系，并不是老师想象的那样属于变量认知，勒温研究表明学生只认识这是一种常量之间的联系. 函数是研究变量与变量之间的关系，如何让这样的观念在教学中渗透？这就需要考虑时间的任意性问题，当在任意时刻计算路程，这种动态的关系自然而然地渗透到学生的头脑中，变量关系的建立初具雏形.

2. 变量关系代数化本质即方程

在“s=100t”中，速度100是已知的，S与t是未知的，这是一个含有两个未知数的等式，也就是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系. 在两个未知数中，给出一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值，并且有无数组解，s与t的值是不可数的. s与t是在变化着的变量，一个变化能引起另一个变化，此时只是认识到有两个变量，但对两个变量有联系以及联系的程度认识还比较模糊.

3. 变量和变量之间的关系即核心——函数

“s=100t”，这不仅是路程、速度、时间之间的关系，这是同一运动系统中两个变量之间有相互制约、相互协调的关系. 第一，发生变化的量称为“变量”；第二，不发生变化的量称为“常量”；第三，对于变量t的每一个值，s都有唯一的值与之对应，则称t为自变量，s为t的函数；第四，如果当t=a时，s=b，那么称b为t=a时的函数值. 至此，学生才对函数的概念有一个比较清楚的认识.

到这里，对本問题的剖析已经全面到位. 通过深刻的理解和认知，教师认识到教材中的例题是精挑细选的，经典的缘由是如何形成的. 作为教师，也进一步理解了用教材教学和用教辅教学的天壤之别. 教教材是课程标准积极提倡的，也是提高学生数学学习能力、思维能力、综合素养的根本，更是教师自身专业化成长的诉求. 笔者以为，脚踏实地地研究教材，思考为什么这么教，理解教材选择例题的重要性，才是一个教师真正成长的标记. 张奠宙先生所说的“用心体会教教材，合理思考用教材教”正是这个含义吧！