无限分布时滞型微分系统的可控性

齐 荣，蒋 威

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

无限分布时滞型微分系统的可控性

齐 荣，蒋 威

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

利用拉普拉斯变换和基础解的方法, 研究了带有无限分布时滞型退化微分系统可控性的问题, 通过建立系统三个可控性的充分必要条件得出结论，最后由具体例子对结论进行了论证。

无限分布时滞; 退化系统; 拉普拉斯变换；可控性

0 引 言

近些年, 关于退化微分系统的可控性和可观测性的研究十分广泛。系统可控性也越来越多的应用在了生物、化学、经济和科学等领域。文献[1]介绍的是关于退化系统的可控性,文献[2]介绍的是关于带有控制时滞的退化系统,文献[3]介绍一系列非线性时滞系统的可控性。而关于带有无限分布时滞型微分系统的控制性少有研究。

考虑如下带有无限分布时滞型退化微分系统：

(1)

其中x(t)∈Rn状态变量，u(t)∈Rm控制矩阵，A,B,E是n次常数矩阵且矩阵E≠0，φ(t)是一个连续的初始函数。

定义1 若|sE-A| 不等于0,则系统(1)是正则的。

引理1 存在两个非退化的矩阵Q和P, 使得正则系统(1)等价于

(2)

(3)

可利用如下等价变换得到：

c1=∫-∞tφ1(r)dr,c2=∫-∞tφ2(r)dr,N∈Rn2×n2

是幂零矩阵，h是N的指数，系统(2)和系统(3)分别称为快系统和慢系统。[4]

1 可控性

本节研究关于带有无限分布时滞型退化系统的一些基本定义和引理，这部分主要参考文献[5-8]。

定义2 对于每个连续的初始函数φ(t), 都存在控制变u(t)∈C[0,t],使得系统(1)的解满足x(t1)=0,则系统(2)是可控的。

定义3[5]若X1(t)是系统(2)的基础解,则X1(t)满足:

(4)

引理2 系统(2)的解可表示为

(5)

证明 当t>0时，我们有

因此x1(t)可表示为系统(2)的解。

F(λ)=∫0∞f(t)e-λtdt

那么函数f(t)的拉普拉斯变换为：

L[f(t)]=F(λ)

引理 3[5]线性算子L[·] 有下列性质:

定理2 系统(3)的解可以表示为:

(6)

证明 对系统(3)左右两边同时进行拉普拉斯变换,有:

由引理3:

有：

得出：

定理3 系统(2)在 [0,tf]上是可控的当且仅当矩阵

在tf∈(0,∞)是非退化的。

证明 充分性：

如果矩阵W[0,tf]是非退化的, 则W-1[0,tf]存在。将系统(2)中的控制变量u(t)写成

由定理1,x1(tf)=0。因此系统(2)在[0,tf]是可控的。

必要性:

假定系统(2)是可控的,那么来证明矩W[0,tf]是非退化的。

如果W[0,tf]是退化的, 则存在非零元素z使得

(7)

那么有

(8)

对于所有s∈[0,tf],

z′X1(tf-s)B1=0

(9)

因为系统(2)是可控的,则存在控制输出u1(t)和u2(t)

(10)

且

(11)

用(11)减去(10)有

(12)

在(12)的两边同时乘以z′,

(13)

(9)和(13)合并, 有z′z=0。则z=0, 但z是非零的数, 则得出矛盾。

定理证明完毕。

定理 4 系统(3)在[0,tf]上是可控当且仅当rank(B2，NB2… ，Nh-1B2)=n2

证明 根据定理2，

定义ζ2为：

x2(t)减去ζ2则有：

(14)

因此对于ζ2(t)和φ2(t),存在控制变u(t)满足系统(3)的充分必要条件是

rank[B2,NB2,···,Nh-1B2]=n2

定理证明完毕。

如果定义

=[B2,NB2,···,Nh-1B2],

[·] 代表取整, 可有如下结论。

定理 5 系统(1)是可控的当且仅当 Rn= ⊕

证明 首先证明R(0,0)=⊕,其中R(0,0)代表在初始函数x(0)=0中的可达集。

由凯莱-哈密顿 定理, 存在ck(t)使得

因此

因此有R(0,0)⊂⊕

下面证明R(0,0)⊃⊕

(15)

根据定理 1, 存在z∈Rn1，

以及

因而有⊕⊂R(0,0),综上R(0,0)=⊕。

如果系统(1)是可控的, 根据定义(2),对任意的

有Rn⊂ ⊕。因此Rn= ⊕。

另一方面：

如果，Rn≤⊕。对于任意x∈Rn, 初始函数φ1(0),φ2(0)以及控制φ(0)，

那么:

定理证明完毕。

2 应用举例

例1 考虑系统

与系统(2)比较, 有

由定理3可得

则有矩阵W[0,1]是非退化的, 因此系统 (2)是可控的。

例 2 考虑系统

(17)

与系统(3)进行比较, 有

那么

根据定理(4), 系统 (3)是可控的。

[1] Cobb D. Controllability, Observability, and Duality in Singular Systems[J]. IEEE Transactionson Automatic Control,1984, AC-29:1076- 1082.

[2] Jiang Wei. Song Wenzhong. Controllability of Singular Systems with Control Delay[J]. Automatica, 2001,37:1873- 1877.

[3] Alaviani S Sh. Controllability of a Class of Nonlinear Neutral Time- delay Systems[J]. Applied Mathematics and Computation,2014,232:1235- 1241.

[4] Dai L. Singular Control Systems[M]. Berlin, New York:Springer- Verlag,1989:36- 42.

[5] 蒋威. 退化、时滞微分系统[M]. 合肥：安徽大学出版社,1998：52- 55.

[6] 郑祖庥. 泛函微分方程理论[M]. 合肥：安徽大学出版社,1994：60- 70.

[7] Ding Xiaoli. Controllability and Optimal of Linear Time- invariant Neutral Control Systems with Differential Fractional Orders[J]. Acta Mathematica Scientia,2015,35B(5):1003- 1013.

[责任编辑：张永军]

Controllability of the Singular System with Infinite Distributed Delay

QI Rong, JIANG Wei

(School of Mathematical Sciences, Anhui University，Hefei 230601,China)

Using the method of Laplace transformation and fundamental solution,the controllability of the singular differential system with infinite distributed delay is considered. Three sufficient and necessary conditions for the controllability of system are established for the conclusion.At last particular examples are given to illustrate the ideal.

infinite distributed delay; singular systems; Laplace transformation; controllability

2016-12-04

2017-03-08

齐 荣(1992— )，女，安徽蚌埠人，安徽大学数学科学学院2014级硕士研究生；蒋 威(1959— )，男，安徽五河人，安徽大学数学科学学院教授，研究方向：泛函微分方程、控制理论和系统理论。

O175.21

A

2096-2371(2017)02-0005-07