《函数的基本性质》教材分析

谢云玖

【摘 要】函数是中学教学中最重要的基本概念之一，本节是学习了函数概念之后将要学习函数的基本性质为函数学习的第一阶段，基本初等函数Ⅰ和基本初等函数Ⅱ是学习函数的第二阶段，第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这三个阶段函数知识层层递进，由浅入深。

【关键词】函数；基本性质；教材分析

函数从初中到高中都是十分重要的内容，在高中阶段中很多内容中均有体现，必修一中的指数函数，对数函数及幂函数。必修四中的三角函数，必修五中的数列，选修中的导数均有函数的影子，可见函数這部分内容十分重要。

一、教材编排方式分析

1.引入

以三幅函数图像引入，教材第27页是函数基本性质总引入，函数的基本性质有3方面的内容：单调性、最值、奇偶性，编者的意图是使用数形结合的方法，从观察具体函数图像特征入手而且一图三用。第一个图是R上的增函数，无最值，并且是奇函数。第二个图像有多个单调区间，有最大值，无最小值，是非奇非偶函数。第三个图像，有最小值无最大值，有多个单调区间且图像关于y轴对称，是偶函数，这几幅图编者的意图很明显把函数的基本性质都放在其中，讲函数单调性最大最小值及后面函数的奇偶性均可用这几个函数图像进行观察，从直观上感受函数的基本性质。

本节课的引入用学生在初中已学过的一次函数二次函数来感受上升和下降，一次函数较简单，编者一笔带过，在二次函数上仔细分析了，编者使用二次函数的意图是：二次函数是初中已经接触的函数，它比指数函数，对数函数要简单，而且是中学阶段最重要的函数，在函数的概念和性质的学习中，以它为主要模型贯穿始终，不仅使学生建立起完善的二次函数的知识结构，而且也使抽象的函数概念学习有了一个适当的具体函数作支撑。从而有效的降低函数学习的困难，提高学习的质量。

2.单调性的定义

函数单调性编者分三步走：第一步由f（x）=x和f（x）=x2的图像整体认识“上升”“下降”；第二步利用表格用自然语言描述图像“上升”“下降”；第三步：运用数学符号语言将自然语言的描述提升到形式化的定义教材逐步推进，把学生的思维引到怎样表述任意性，这也是本节课的难点地方。

3.例题

四个例题有着各自不同的目的和任务，我们这节课只讲前两个例题：

例1：让学生掌握单调区间和单调函数，函数的单调性怎么表示，单调函数与单调区间怎么规范的叙述，这道例题还是让学生掌握从图形观察它的性质。

例2：有两个目的第一个目的让学生感受到函数单调性基本应用。第二个目的把函数单调性的证明的基本步骤在这个例题中归纳出来，函数单调性的证明步骤可归纳为五步：设元——作差——变形——判断——定论。

二、教材为什么要这样编写

（1）强调背景和应用。展现过程和联系。函数的本身就是刻画现实世界中变化规律的模型，它拥有丰富的现实背景。例2，例3都是来源于现实。

（2）渗透了数学思想方法，关注数学文化。专家说：“加强思想性上本书追求的目标之一”，本节主要蕴含了数形结合，用函数观点研究问题，也有数学建模的思想方法，数形结合也贯穿了必修1的始末。

（3）提供了自主空间，促使学生主动学习。学生的数学学习活动不应只限于对概念，结论和技能的记忆模仿和接受，独立思考，自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等都是学习数学的重要方式。

三、教学中的几点把握

（1）关于单调区间是开区间还是闭区间问题。函数单调性是对某个区间而言的，是函数的局部性质。对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性的问题，对于闭区间的连续函数来说，只要在开区间上单调它在闭区间上也单调因此在考虑它的单调区间时包括不包括端点都可以。

（2）关于用定义证明单调性问题。本书仅在例2中涉及到，原教材用了例2、例3来详细介绍，用定义证明单调性，练习和习题中也有涉及到单调性的证明，在本书中单调性的证明显然弱化了，第32页的练习有四道是从图形中得到结论，只有第四小题是证明单调性而且是一次函数，习题1.3中第2题、第3题是证明单调性但只是一次函数、二次函数、反比例函数，所以教学中不要有太复杂的函数证明单调性，复杂函数单调性以后用导数会解决的。

（3）从结构体系上，要把握螺旋上升，本节为什么要采用螺旋式安排教学内容及其学习过程呢？主要是考虑与学生的心理发展水平相适应的问题。专家说：“学习从属于发展”，同时数学概念在不同层次上能够得到表征，也为螺旋上升地安排学习内容提供了可能。

四、教学建议

第一步，观察引入图像了解上升，下降的直观感受，得到增函数减函数。

第二步，从几个实例的共同特征到一般性质的概括，引导学生用数学语言表达，形成数学概念，培养探究能力，教学中先在f（x）=x2单调增区间部分注意多举例子x1=1，x2=2比较f（1），f（2）的大小，多次重复引导学生说出所以数字在我们不能一一列举的情况下我们该怎么办？可不可以把单位长度抹掉，抹掉之后怎么表示，任意指一个位置让学生说用x1表示，然后指另一个位置让学生说用x2表示。然后引出书上那个没有单位长度的那个图。

第三步，例1熟悉单调区间及单调函数的表示。

第四步，对单调性证明步骤的归纳。