圆锥曲线的一个相似结论

梅帝松

[摘 要] 圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）可以看作是符合某个条件的点的轨迹，而且与每个圆锥曲线具有近乎相同条件所产生的新轨迹又惊人相似，本文对此稍作探讨.

[关键词] 圆锥曲线；轨迹；相似

圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）虽然各自定义不同，图形各异，但它们有很多共性.近日笔者在一次解题中偶然发现一个与圆锥曲线有关的点的轨迹具有极其相似的结论，特此展示，以便读者参考.

性质1：垂直于x轴的直线l交圆C1：x2+y2=r2于两点A，B，点P是l上一点，且PA·PB=k（0

证明：如图1，设A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因为PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k①，

将y2=-y1代入①式，得y-y=±k②.

将y=r2-x代入②式，得

y+x=r2-k或y+x=r2+k（

x1

因此，点P的轨迹为圆C2：x2+y2=r2-k，或圆C3：x2+y2=r2+k（

x

特别地，当k=r2时，同理可证得点P的轨迹为点（0，0），或圓C4：x2+y2=2r2（

x

性质2：垂直于x轴的直线l交椭圆D1：+=1于两点A，B，点P是l上一点，且PA·PB=k（0

证明：如图2，设A（x1，y1），B（x1，y2），

P（x1，y3）.

因为PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k③，

将y2=-y1代入③式，得：y-y=±k④，

将y=

1-

b2代入④式，

得+=1，

或+=1（

x1

x

特别地，当k=b2时，同理可证得点P的轨迹为点（0，0），或椭圆D4：+=1，若将点（0，0）看成是点椭圆D5，则椭圆D5、椭圆D1、椭圆D4的长半轴的平方成等差数列，短半轴的平方成等差数列.

性质3：垂直于x轴的直线l交双曲线E1：-=1于两点A，B，点P是l上一点，且PA·PB=k（0

证明：如图3，设A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因为PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k⑤，将y2=-y1代入⑤式，得y-y= ±k⑥.

将y=

-1

b2代入⑥式，

得-=1（

x1

>a），或-=1. 因此，点P的轨迹为双曲线E2：-=1（

x

>a），或双曲线E3：-=1，双曲线E2、双曲线E1、双曲线E3的实半轴的平方成等差数列，虚半轴的平方成等差数列，且三者有共同的渐近线y=±x.

特别地，（1）当k=b2时，同理可证得点P的轨迹为双曲线E4：-=1，或两直线：y=±x（

x

>a），由此得到以下推论.

推论：过双曲线的渐近线上任一点P且垂直于x轴的直线l交该双曲线于两点A，B，则PA与PB的积是定值.

（2）当k>b2时，同理可证得点P的轨迹为双曲线E5：-=1（

x

>a），或双曲线E6：-=1. 双曲线E1、双曲线E5、双曲线E6有共同的渐近线y=±x.

性质4：垂直于x轴的直线l交抛物线F1：y2=2px（p是常数，且p>0）于两点A，B，点P是l上一点，且PA·PB=k（k≠0），则点P的轨迹是两个同轴抛物线（其中一个只是抛物线的一部分），该两个同轴抛物线与抛物线F1的顶点横坐标成等差数列.

证明：如图4，设A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因为PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k⑦，

将y2=-y1代入⑦式，得y-y=±k⑧.

将y=2px1代入⑧式，

得y-2px1=±k，因此，点P的轨迹为抛物线F2：y2=2p

x+

（x>0），或抛物线F3：y2=2p

x-

，抛物线F2、抛物线F1、抛物线F3的顶点的横坐标成等差数列.

以上四个性质如此相似，正体现圆锥曲线间的本质脉搏相连、息息相关.