一道源于课本例题的高考题的分析与思考

龚永辉

[摘 要] 从历年来的高考数学题中可以发现，有很多题目都是源自于课本例题，因此，让学生掌握课本例题将有助于学生高考成绩的提升.

[关键词] ：高考题；课本例题；椭圆

[?] 试题再现

2016年四川高考文科第20题是这样的：已知椭圆E：+=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P

，

在椭圆E上.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MA·MB=MC·MD.

解析：（Ⅰ）椭圆E的方程是+y2=1.

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程组

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0. ①

方程①的判别式为Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，

所以M点的坐标为

-m，

，直线OM方程为y=-x.

由方程组

+y2=1，

y=-x，得C

-，

，D

，-

.

所以MC·MD=（-m+）·（+m）=（2-m2）.

又MA·MB=AB2=[（x1-x2）2+（y1-y2）2]=[（x1+x2）2-4x1x2]=·[4m2-4（2m2-2）]=（2-m2），

所以MA·MB=MC·MD.

本题是一道有关圆锥曲线中的相交弦问题，涉及的知识面广，运算量大，上手容易，得满分难，尤其是对于基础较薄弱的文科生而言，有一定的难度.笔者通过对此题的再研究发现此题源于一道课本例题，又高于课本，活于课本，请看：

普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修4-4坐标系与参数方程第38页，

例4：如图1所示，AB，CD是中心为O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的交角为∠1=∠2，求证：PA·PB=PC·PD.

从两道题目的条件和结论来看都非常的相似，解法也应该差不多，如果用参考答案的方法直接计算往往会因为运算量过大或未知量过多而失分或无从下手，但换一个角度深入研究可以发现两道题目其实都等价于证明四点共圆问题，对于此类问题是否有更一般的解法或结论呢？笔者通过对这两题的進一步研究探索发现了一个有关圆锥曲线中四点共圆的一个充要条件，可以妙解此类问题.

[?] 发现定理

定理1：已知椭圆Mx2+Ny2=1（M>0，N>0，M≠N）与直线l1交于A，B两点，与直线l2交于C，D两点，其中A，B，C，D为不同的四点，则“A，B，C，D”四点共圆的充要条件是“l1与l2的斜率互为相反数或斜率均不存在”.

证明：（1）当l1与l2的斜率均存在时

设两条直线li：y-y0=ki（x-x0）（i=1，2），则经过它与椭圆的四个交点的二次曲线一定能表示为（λ，μ不同时为0）以下形式：

λ（Mx2+Ny2-1）+μ[y-y0-k1（x-x0）]·[y-y0-k2（x-x0）]=0. ①

必要性： 若四个交点共圆，则存在λ，μ使方程①表示圆，故式①左边展开式含xy项的系数-μ（k1+k2）=0. 而μ≠0，否则①表示曲线，不表示圆，所以k1+k2=0.

充分性：当k1+k2=0时，式①左边的展开式中不含xy的项，取μ=1时，令式①左边的展开式中含x2，y2项的系数相等，即λM-k=λN+1，得λ=.

此时曲线①即x2+y2+C′x+D′y+E′=0②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线②上，所以方程②表示圆. 这就证得了四个交点共圆.

（2）当l1与l2的斜率均不存在时，有AB∥CD∥y轴，易知A，B，C，D四点共圆，反之也成立.

类比于定理1的证明，我们可得定理2、3如下：

定理2：已知双曲线Mx2-Ny2=1（MN>0）与直线l1交于A，B两点，与直线l2交于C，D两点，其中A，B，C，D为不同的四点，则“A，B，C，D”四点共圆的充要条件是“l1与l2的斜率互为相反数或斜率均不存在”.

定理3：已知抛物线y2=2px（p>0）与直线l1交于A，B两点，与直线l2交于C，D两点，其中A，B，C，D为不同的四点，则“A，B，C，D”四点共圆的充要条件是“l1与l2的斜率互为相反数或斜率均不存在”.

继续深入研究定理1、2、3的极限情形可得：

推论1：设点A是定圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线和抛物线）E上的定点但不是顶点，C，D是E上的两个动点，直线AC，AD的斜率互为相反数，则直线CD的斜率为曲线E过点A的切线斜率的相反数（定值）.

证明：由定理1可知，kAC=-kBD?A，B，C，D四点共圆?kAB=-kCD，当点A，B重合时，直线AB即为二次曲线L：Mx2+Ny2+Ex+Fy+Q=0（M≠N）的切线，于是有kAB=-kCD的充要条件是点A处的切线的斜率kA=-kCD.

通过以上四个问题的研究我们得到了圆锥曲线有关四点共圆的一个统一性质和推论，下面我们用以上结论妙解高考试题.

[?] 定理应用

例1：（2016年四川高考文科第20题第2问）（见上文）

解析：（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程组

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0，①

方程①的判别式为Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2.

所以M点坐标为

-m，

，直线OM的斜率为kOM=-，从而有kAB+kOM=0.

由定理1可知A，B，C，D四点共圆，再由圆的相交弦定理可知

MA·MB=MC·MD成立.

例2：（2014年高考全国大纲卷理科第21题（文科22题））

已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

QF

=

PQ

.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解析：（Ⅰ）y2=4x.

（Ⅱ）由题意可知直线AB，直线MN的斜率必存在，设直线AB的斜率为k1，直线MN为k2，则由已知和定理3可知k1+k2=0，

k1·k2=-1，从而得到k1=±1，直线方程为x±y-1=0.

例3：（2002年广东卷）设A，B是双曲线x2-=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点，

（Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否在同一个圆上，为什么？

解析：（Ⅰ）直线AB的方程为y-2=x-1，即y=x+1.

（Ⅱ）因為CD是AB的垂直平分线，所以直线CD的方程为y-2=-（x-1），即y=-x+3，故kAB+kCD=1+（-1）=0，由定理知A，B，C，D四点在同一个圆上.

例4：（2009年辽宁卷理科第20题） 已知A

1，

是椭圆C：+=1上的定点，E，F是C上的两个动点，直线AE，AF的斜率互为相反数，证明：EF直线的斜率为定值，并求出这个定值.

解析：由推论1可知EF直线的斜率为定值，等于过A点的切线的斜率.

除了上题，在2004年北京文（理）科17题中如果用推论1来解答也非常的精妙.

由此可见，高考试题大都来源于教材，教材就是高考试题的“根”，教材中设置的不少例题很具有典型性、探究性，教师在教学中学会用一双“慧眼”去发现具有典型性、可拓展性的例题或习题，善于做解后的反思，方法归类，规律的总结和技巧的揣摩，在探究过程中让学生去收集、整理、归纳，获得新知识，在知识的联系中进行有效整合，这对学生能力的提高和思维的发展大有益处，同时也能优化学生的知识结构，培养思维的灵活性.