理清困难 寻找突破——以分数教学为例谈数学思维的培养

◎刘妍霞

卷首语

理清困难 寻找突破
——以分数教学为例谈数学思维的培养

◎刘妍霞

“数学是思维的体操”，它能开发学生的智力，培养学生的思维能力，有助于学会思考、学会学习、学会创造。

知识是思维的载体，学习数学的目的是为了促进智慧的生长。郑毓信教授曾强调：分数是数学思维真正进入小学数学的地方。分数也是一些学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点。

一、为什么困难

分数是学生数的概念的第一次扩展。在认识分数之前，学生认识的数都是万以内的整数，比如：0、1、2、3、4……

数的产生来源于实际生活的需要。朱国荣老师认为，在分数意义拓展时，分数被用来表示一个量与另一个量的比的关系。比如，把一堆苹果平均分成两份，其中的一份是苹果总数的苹果总数的可能是1个，也可能是2个、3个……，当苹果总数是1个时，苹果总数的就是个。这个不再具体表示数量的多少，而表示部分和整体数量之间的关系。和学生认识自然数的经验和过程不相一致，不符合学生认识数的逻辑顺序。这也是学生在认识分数时普遍感到模糊、困难的根源。

二、困难在哪里

经过一段时间的分数教学，感触颇深。苏教版《义务教育教科书·数学》“分数”这部分知识分四次教学，安排如下：

三年级上册第七单元“分数的初步认识（一）”，认识一个物体（或图形）的几分之一（几分之几），同分母分数的大小比较，同分母分数的加、减法。

三年级下册第七单元“分数的初步认识（二）”，进一步丰富对分数的理解，把几个物体组成整体，认识整体的几分之一（几），求整体的几分之一（几）是多少。

五年级下册第四单元“分数的意义和性质”，教学分数的意义和分数单位，分数与除法的关系，求一个数是另一个数的几分之几，真分数与假分数，把假分数化成整数或带分数，分数与小数的互化，分数的基本性质，约分通分。

六年级上册第二单元“分数乘法”，分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少的实际问题，分数乘分数，分数连乘及其实际问题，认识倒数。

六年级上册第三单元“分数除法”，分数除以整数，整数除以分数，分数除以分数，简单的分数除法实际问题，分数连除和乘除混合运算。

六年级上册第五单元“分数四则混合运算”，分数四则混合运算，稍复杂的分数实际问题。

经过梳理教材，有两个知识点在学生的思维的提升方面起着至关重要的作用，可谓是两次飞跃。

（一）第一次飞跃——分数的意义

学生对分数认识，首次感受到一个数不再单纯的表示量，它是从感性走向理性的开始。分数的意义,在分数这部分知识中起引领作用，不论是分数的基本性质，分数大小的比较，约分、通分及四则计算,分数实际问题都建立在分数意义之上。从数学的角度来看，分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。因此,让学生认识到将一个物体、一个图形、一个计量单位、一些物体作为整体平均分，抽象出单位“1”，在教学中引导学生理解和掌握分数的概念,分数中的其它知识也会迎刃而解。

（二）第二次飞跃——分数乘法

分数乘法的计算方法的推导和有关分数乘法的实际问题的解决，为学生对分数作为分率的理解提供了机会。从中可以认识到分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示部分与整体之间的关系。学生从具体的数的世界转入到抽象的数的世界，认知上的一次跳跃，又是一次理性的提升。

三、如何突破困难

（一）让数学思维在“说”中渐入佳境

数学语言是数学思维的工具，是数学思维的外壳。爱因斯坦曾说过：“一个人智力的发展和形成概念的方法，在很大程度上取决于语言。”小学生语言区域狭窄，更缺乏数学语言。实践证明：语言能力提高了，思维能力也得到很好的发展。因此，在分数教学中，发展学生的思维，就要加强说理训练。

1.引导模仿，仿照着说

模仿是提供一种数学语言表达的范式，让学生仿照着范式思考，从而培养学生思维的准确性。在进行分数实际问题教学中，解题的关键是找准题中的关键句、单位“1”和数量关系，而题中的关键句的呈现形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份节约-“其中是第一天用的”“一袋米吃了”等等。在理解这些句子中分数意义时，可以让学生试着这样说：把哪个量看作单位“1”？谁的几分之几是多少？数量关系式是什么？通过多次训练，学生不仅掌握了分析数量关系的方法，而且从儿童的自然语言，逐步过渡到规范、准确的数学语言，提高了学生数学语言表达能力，也促进了学生思维能力的提高。

2.引导联想，变着法说

引导学生联想，通过一个条件（关系）推出与其相关的条件（关系），培养学生的发散思维。在解决分数实际问题系时，关键句不仅可以表述成分数的形式，还可以表述成其他形式。如：根据“盐是盐水的启发学生联想：水是盐水的盐是水的盐比水少盐与盐水的比是（）：（），盐与水的比是（）：（），水是盐的（）倍等等。

在教学中，教师创造数学语言训练的机会，循循善诱，让学生在“说”中“思”，在“思”中“说”，培养学生表达自己见解的习惯，鼓励学生敢“想”，敢“说”，敢“与众不同”，对提高学生的求异思维起到事半功倍的效果。

3.引导反思，有条理地说

由于学生自我意识的发展还不成熟，对自己的思维破绽、错误不易注意。当学生对所学的内容有了较全面的理解和掌握时，教师应及时引导学生反思，让学生说解题思路、解题步骤。在说的过程中，不断调整自己的思维，试着自我总结，自我评价，提炼思想方法并形成解题策略。因此，在解决分数实际问题的过程中，应着力培养学生“自我反省”的习惯，有条理的表述思维过程。

4.引导比较，自由地说

在分数教学中，有很多具体内容不同，但有着相似结构的实际问题，教师可以创造机会，让学生仔细观察，鼓励学生独立思考，比较其相同点和不同点，自由的发表自己的见解，从联系中探索内在规律，这样，不同于单纯的就题讲题，还可以形成“自由辩论”的学风。

如：梨有60千克，______。苹果有多少千克？

通过各抒己见，探索结构之间的关系，把相同的思考过程提炼出来，进一步抽象化、符号化。这样，在面对新的实际问题时，就能把已有的方法和策略，类推到新的情境中，迅速找到解决问题的方法。通过这样的练习，可以丰富学生的联想，增强思维活力，提高思维敏捷性。

（二）让数学思维在“图”中越飞越高

运用线段图解决问题是一种数学技能。围绕“解决分数实际问题”对我校六年级学生做了调查问卷。情况如下：

线段图和算式都正确能读懂题意但不会画图会画线段图但列不出算式会列式不会画线段图画出的线段图和算式不能对应占的百分比 4 0 . 9 % 3 4 . 3 % 1 1 . 4 % 7 . 8 % 5 . 6 %

我们总想学生把线段图当做一种解题的策略，信手拈来。从上面的数据可以看出，对于大多数学生来说，成人看似简单的线段图，学生理解有一定的困难。

1.在具体情境中理解分数的意义

2.由“文”到“图”

从儿童视角出发，将数学知识的过程、方法和结果用图像进行表征，勾勒出数学知识的本质属性。借助于学生能见到的或想到的几何图形、线段图等，对数量关系的直接感知，帮助学生理清数量关系：哪个量作为单位“1”，哪部分是单位“1”的几分之几，抽象的数量关系变得直观，有利于学生把握数学问题的本质。

3.图式结合，强化训练

教材中提供现成的线段图，帮助学生理解题意，但学生并不理解画线段图的过程。教学中让学生自己试着画，还原图形，然后与教材中的图对照，发现错误及时纠正。学生会画线段图不是一朝一夕能解决的问题，教师还应多鼓励。

用线段图来表征数学问题，可以帮助学生轻松的解答复杂关系的实际问题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展。因此画线段这样的图式意识是一种重要数学观念，会用图式表征是关键数学能力，图式思维更是必备学习品质。

（作者单位：江苏省南京市溧水区实验小学）

（责任编辑：杨强）