运用数形结合，提炼数量关系

谢博超

一、以形助数，着眼意义理解

分数解决问题的基础和关键是对“分数的意义”和“一个数乘分数的意义”的理解，学生只有对这两个意义理解到位，才能将较复杂的分数解决问题转化归结为“一个数×几分之几=另一个数”这样的数量关系去解决问题。而一个数的几分之几是多少其实是一个数的几倍是多少的延伸，也就是整数倍到分数倍的延伸，虽然在之前学生已经建构了“一个数×倍数=这个数的几倍”这一数学模型，但要让学生从整数倍过渡到分数倍，还是比较抽象。因此，借助图形帮助学生理解是非常有必要的。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支撑作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象之间的转化，发展学生的思维。根据小学生的认知规律，如何借助直观的图形展现一个数乘分数的意义呢？教师可以通过创设一个情境解决，就如，给一面墙刷油漆，每小时刷这面墙的 ，那2小时刷了这面墙的几分之几？ 小时呢？ 小时呢？让学生根据旧知先列出算式，然后利用长方形表示这面墙，让学生画出长方形中 ×2的部分并说出它的意义（图1）。再让学生在长方形中画出 × 和 × 的部分，并让学生根据画的过程说出它们的意义（图2、图3）。

图形深化了学生的学习体验，也让学生直观感受一个数乘分数的意义。以形助数，学生不仅对分数的意义有了进一步的了解和认识，更对一个数乘分数的意义形成过程有了更深的感受和体验，这能为接下来应用分数解决问题打下坚实的基础。

二、转数为形，简化问题类型

学生之所以会觉得分数解决问题难，一方面因为对一个数乘分数的意义理解不到位，另一方面是由于分数乘除法的解决问题类型繁多，对此教师可以引导学生对分数解决问题的类型进行整合分类，化繁为简。纵观所有的分数解决问题，其实主要分为两大类型：“一个数是另一个数的几分之几”和“一个数比另一个数多（少）几分之几”，用字母表示就是“a是b的几分之几”和“a比b多（少）几分之几”。前者属于部分与整体之间的关系，后者属于不同数量间相比较的关系。如何帮助、引导学生清晰地区分两种类型的数量关系呢？借助线段图是非常直观有效的方法。第一种类型：a是b的几分之几，是属于部分与整体的关系，所以只需要用一副线段图就能表示出a和b之间的关系（图4）。第二种类型：a比b多（少）几分之几，是属于两个数量间相比较的关系，所以需要画两条线段图体现a和b比较的关系（图5、图6）。

转数为形，帮助学生把复杂多样的分数解决问题简化为两大类型，并直观地让学生能清晰区分这两种类型，为学生解决分数问题提供了明确的方向。

三、数形结合，提炼数量关系

运用数形结合能使数量之间的内在联系变得比较直观，它是解决问题的有效方法之一。在分析問题的过程中，把数和形结合起来考察，根据问题的具体情境，先把数量关系的问题转化为图形的问题，再把图形的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。在教学一个数乘分数的意义时，教师就可以铺垫分数乘法的数量关系：“单位‘1×分率=对应具体量”。在之后的分数解决问题教学中，基于一个数乘分数的意义，教师让学生画出线段图，再次强化数量关系。例如，第一种类型“a是b的几分之几”（图4）。线段图中的b是单位“1”， 是分率，a就是对应的具体量。所以根据一个数乘分数的意义，数量关系就是“b× =a”。在这个数量关系中，要求a也就是对应具体量，直接用b× =a，也就是用“单位‘1×分率”；如果要求b也就是求单位“1”，就可以用方程解的方法，假设单位“1”为x，当然用算术的方法也可以用a÷ =b；如果要求 也就是求分率，根据数量关系同样可以用方程解的方法，设分率为x。也就是说根据线段图提炼出来的数量关系，只要已知单位“1”，分率和对应具体量这三个量中的任意两个，就可以求出第三个未知的量。又如“a比b多几分之几”（图5）。学生观察线段图，b是比较的标准也就是单位“1”，a是与b比较的比较量。所以根据线段图得到数量关系是“b+b× =a”，用文字描述也就是“单位‘1+单位‘1的几分之几=比较量”。根据线段图提炼出的这个数量关系，亦能求出未知的量。图形与代数式有着文字叙述无可比拟的优势，小学生在接受此类知识时可能有困难，但这个困难不是不可以克服的，一旦克服，提高便是飞跃性的。

总之，分数解决问题的教学是个循序渐进的过程，教师教学时应以形助数，着眼于意义的理解，化数为形，化繁为简，为学生解决分数问题提供明确的方向和主线，最终提炼出解决问题的核心——数量关系，帮助学生走出解决分数问题的困境。

（作者单位：福建省厦门市集美区新源小学 责任编辑：王彬 黄哲斌）