白雪公主和七个小矮人——记与抛物线有关的七个圆

吴笑蓬

江苏省海门中学高二(5)班 (226100)

白雪公主和七个小矮人
——记与抛物线有关的七个圆

吴笑蓬

江苏省海门中学高二(5)班 (226100)

在近几年江苏高考的附加试题中，以与抛物线有关的轨迹类问题作为压轴的频率较高.想在这样类型的题目上顺利过关，进而取得较为满意的分数，取决于给的时间的多少.如果掌握了与抛物线相关的一些结论，那么解决这样类型的问题也就事半功倍了.笔者结合老师上课的讲解以及自己在平时学习中的感悟，发现了抛物线中的“七个小矮人”这样有趣的现象，希望对大家有所启发.

图1

圆一：过x轴上一点M(2p,0)作抛物线y2=2px(p>0)的任意一条弦，则以其弦为直径的圆必过原点.

证明：不妨设弦AB的方程：x=my+2p,联立抛物线方程得到

在对圆1的研究过程中又发现了这样的一个逆命题:如图1，OA与OB为抛物线y2=2px(p>0)相互垂直的两条弦，连AB,则直线AB恒过H(2p,0).(OH的一个靠近O的四等分点即为抛物线的焦点),这样的结论也有利于我们快速准确的确定抛物线的焦点所在位置.

圆二：若AB为y2=2px(p>0)的焦点弦，过A,B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1,则以AB为直径的圆与A1B1相切.

图2

将焦点弦与准线结合在一起,竟有这么奇妙的性质,那让我们在下一题中继续展开丰富的想象吧!

图3

(理)(2011韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l:y=-2相切.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A,B为切点作轨迹C的切线，设两切线的交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

原题的解答如下:

(1)易知圆心的轨迹是x2=8y.

既然AQ⊥BQ，我们就能想到点Q就在以AB为直径的圆上，就可以大胆猜测一般情况下以AB为直径的圆与准线相切.即得出圆二：以AB为直径的圆与A1B1相切.反之如果我们利用圆2的相关结论也能迅速解决该题的第二问，甚至还可以推出Q在定直线y=-2上(当然此处还用到在抛物线A处的切线平分∠FAA1这样的结论).

以AB为直径的圆与A1B1相切，那么将AB与A1B1交换位置即以A1B1为直径的圆又有什么特点呢?是否与AB相切呢？将AB截成两段变成AF,BF，分别以AF,BF为直径作圆，是否也会有什么特殊的性质呢？请看以下探究.

图4

圆三：若AB为y2=2px(p>0)的焦点弦，过A,B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1,则以A1B1为直径的圆与AB相切.

证明:如图4,AA1∥x轴⟹∠AA1F=∠A1FO,AF=AA1⟹△AFA1中，∠AA1F=∠A1FA⟹∠A1FA=∠AA1F=∠A1FO.同理

∠OFB1=∠BFB1⟹∠A1FO+∠A1FA+∠OFB1+∠BFB1=π,∴2(∠A1FO+∠OFB1)=π⟹

圆四(五)：若AB为y2=2px(p>0)的焦点弦，过A,B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1,F为焦点，C1为A1B1的中点，则BB1C1F四点共圆(AA1C1F四点共圆).

图5

证明：如图5,取AB中点C,∵CC1=BC,∴∠CC1B=∠CBC1,又∵CC1∥BB1,∴∠CC1B=∠B1BC1,

∴∠C1BB1=∠CBC1,

△BB1C1≅△BFC1⟹

B1C1⊥BB1,C1F⊥BF, ⟹BB1C1F四点共圆.

同理AA1C1F四点共圆.

图6

带着这样的结论,我们再来欣赏2017海门市高二期末统考的附加题最后一题.

(1)求p的值；

(2)设抛物线C的焦点为F,准线为l,点A1,B1在l上,且AA1⊥l，BB1⊥l，线段A1B1的中点为Q,当AB经过F时,求证:AQ∥B1F.

原题的解答如下:

解:(1)易知p=2．

如果利用以上相关结论，可以秒杀得到BQ⊥AQ，BQ⊥B1F，从而AQ∥B1F.所以说适当的整合归纳不仅可以提高我们对学习数学的兴趣,而且也可以开拓我们的视野,发展我们的思维.

图7

圆六(七)：若AB为y2=2px(p>0)的焦点弦，F为焦点，则以AF为直径的圆与y轴相切(以BF为直径的圆与y轴相切).

当白雪公主遇上七个小矮人，安徒生创造出了千古流传的小故事，而当抛物线遇上了七个圆，衍生出诸多简便的途径，便于我们众多考生在高考紧张的气氛下用最快的时间抓住来之不易的分数.