体悟数学

吴海宁��

【摘要】“体悟数学”对学生来说，是一种学习数学的方式，对教师而言则更多的是一种教学思想和教学主张.在课堂教学中，学生的学习是两个转化过程，一是由教材的知识结构向学生的认知结构转化，二是由学生的认知结构向智能转化.这样的课堂教学善于把握学生学习的切入点，从让学生体验数学好玩开始，引导他们亲身体验新旧知识的联系，学生在捕捉联系，发现结论的顿悟过程中，自然地经历着知识经验的迁移与同化，认知矛盾趋于平衡，认知结构得以拓展，自然走向玩好数学的目的地.

【关键词】体悟数学；教学主张；玩好数学

“数学好玩”的根本在“趣”，这是“玩好数学”的出发点，只有感到数学学习十分有趣，学生才能自主探索，有所发现；但是“趣”不是目的，数学学习应该更多地培养学生独立思考和科学判断的能力，要引起学生的深度思考，让学生能不断钻研深入探索，这就是“玩好数学”，这是数学学习的内驱力，是伴随学生终生的优秀品质.数学课堂应追求两者的有机结合，怎样从“数学好玩”走向“玩好数学”，这是值得每一位数学教育工作者思考的问题.

体悟，体验和领悟，指在实践中感受，在行动中体验，而后有所思考领悟和收获.体悟有两个关键，即身体行为和直觉领悟，是通过身体行为而达到对认识对象的顿悟式理解.数学学习在本质上是体悟的过程，其中，体验是体悟的外在形式，它通过个体的亲身经历，在参与体验实践过程中，感受外部环境的影响，通过切身体验形成个性化的情意观念；而领悟是体悟的内在形式，是内部认知结构的异质重建.

“体悟数学”对学生来说，是一种学习数学的方式，就是学生在教师指导下，首先从自己的数学经验出发，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得直接经验，再对这些经验、猜想逐步顿悟、领悟、感悟，建构发展自己的数学认知结构的一个活动过程；而“体悟数学”对教师而言则更多的是一种教学思想和教学主张，体悟数学的教学主张，强调学生的发展是教学活动的最终目的，教学过程中主体是学生，强调学生作为一个完整的人，而不单单是大脑载体.“体悟数学”的教学主张认为，在课堂教学中，学生的学习是两个转化过程，一是由教材的知识结构向学生的认知结构转化，二是由学生的认知结构向智能转化.这样的课堂教学善于把握学生学习的切入点，从让学生体验数学好玩开始，引导他们亲身体验新旧知识的联系，学生在捕捉联系，发现结论的顿悟过程中，自然地地经历着知识经验的迁移与同化，认知矛盾趋于平衡，认知结构得以拓展，自然走向玩好数学的目的地.

本文以《A类打印纸中的数学》一课为例，分享教学过程中，运用体悟数学的教学思想，寻找数学好玩和玩好数学的黄金分割点，引领学生从好玩走向玩好的一些感悟.1基于体悟数学的课堂教学思路

活动一：准备活动，启发学生探究自悟

1.出示打印机上的A4打印纸，请量出它的长和宽的长度；

2.根据量出的数据，计算其长与宽的比的近似值，并猜想A4纸长与宽的比的精确值；

3.怎样说明你的猜想是正确的？

设计意图这是本节课的准备学习活动，从学生最为常见的A4纸入手，运用测量的手段，关注研究对象最基本的数量关系.设计起点低，切入口小，每个孩子都有能力玩，都可以独自亲身体验，有开放性.让学生经历测量、计算、观察、比较、迁移等触手可及的体验活动后，启发学生独立探究，自觉感悟A4纸的长宽比与2的特殊关系，发展了有序的数感，为后续学力的发展提供思维铺垫，能让新知与思想方法共生共长.还有部分學生不仅得出了A4纸的长宽比，还得出了它的宽长比，为下一个学习体验的展开（A4纸不是黄金矩形）埋下伏笔，实现了人人体悟的初衷.

活动二：感悟新知，促进师生互动领悟

4.为什么这种打印纸被称为A4纸？

教师简介A类打印纸的关系，让学生了解A4纸是由A3纸对折而来，而对折A4纸则得到A5纸……

5.你能猜出A5纸的长与宽的比值吗？请证明你的猜想.

6.由此你能否得出所有A类打印纸的关系？请证明你的猜想.

设计意图借助折叠A4纸的亲身体验，让学生自己感知A5纸的长宽比，这一问题的设置同样具有开放性，为学生提供广阔的体悟时空.有些学生依然沿用活动一的测量方法，测算出A5纸的长宽比；有些学生利用活动一中测量出的A4纸的长宽值，直接算出A5纸的长宽比；当然更多的同学不再测量，而是自觉地利用A5纸由A4纸对折而来这一事实，从活动一得到的“A4纸的长宽比是2”这一结论出发，令A4纸的宽为1，或是a，猜想、感悟、推理、验证A5纸的长宽比也是2.从而感悟并推理证明，得出A类纸的长宽比都是2，它们是相似的.学生从亲身体验到自觉感悟，活动一中体验的感性认识自然上升为理性认识，完成了从数学好玩到玩好数学的过渡，从合情推理走向演绎推理，学生类比、转化思维能力得以提升.

这一学习过程，学生对数学的体悟开始是朦胧、混沌的，学习状态也是模糊的、不自觉的和被动的状态，通过师生和生生间语言的交流和思维的碰撞，使他们看到同伴与自己不一样的思考，听到与自己不同的观点，便能多角度和多途径地完善对数学新知的感悟、积聚和清晰这一过程，在教师和同伴的帮扶下逐步走向清晰的、自觉的和主动的发展状态.这个转变过程的长短，关键在于体悟数学学习活动中多维互动和有效促进的效度.

活动三：解决问题，引领学生反思感悟

7.A4纸是黄金矩形吗？

8.为什么A类纸被称为标准纸？

9.你知道为什么电脑显示器被设计成4∶3吗？猜想电视机屏幕、电影屏幕的尺寸，说说你的思考.

设计意图选择了A类打印纸作为载体，帮助学生搭建了图形转化的桥梁，学生已经通过亲身体验，感悟到A类纸的长宽比都是2，那么宽长比不是黄金比，自然就顿悟到A4纸不是黄金矩形！接着引发学生对打印纸为什么称为标准纸的思考，活动二中学生已经领悟到A类纸是相似的，那么这里进一步感悟到：相似的打印纸能够让图像放大与变小都不变形的原理，就自然与屏幕设计尺寸有了联想和类比，继而转化，产生思考，有新的感悟.学生感叹：原来数学还有如此重要的作用！学生研究数学的兴趣被激发，“好玩”与“玩好”实现了无缝对接.这里并没有重复提出其他A类打印纸的相似推理方法，而是转向让学生体验A类打印纸的标准性的研究，利用学生之前形成的经验和感悟，不仅领悟了A类打印纸的标准性，更重要的是领悟了其标准性在生活中的应用，自然也就懂得屏幕尺寸的设计原理和依据，数学的学习完成了从理论理解到实践应用的过渡，是对之前体悟的深化和提升.

体悟数学的教学，不能仅仅停留在感悟上，更重要的是要提升，或者叫做感悟升华.感悟升华是在前经验的基础上提升学生思维品质的必由之路，也是“玩好数学”在“数学好玩”基础上的质的飞跃.2体悟数学教学主张的实践与思考

提升学生的数学素养，思维能力和学习品质是数学教学的最终目标，但离不开数学知识的获得和技能的养成，知识是血肉，能力和方法是灵魂.知识和方法相比，方法更容易成为能力，能力与方法携手便是潜在的创造力.数学知识、技能、方法、能力的辩证关系决定了数学教学不能直接告知.“告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我就会真正理解”.这里的参与，正是体悟数学的主张.体悟数学的教学主张基于学生“玩”的天性、“学”的特性、“思”的本性，引导学生以身体之，以心验之，以思悟之，只有循序渐进地在“体”中萌动，在“验”中孕育，在“悟”中生成，才能实现知识能力的双向发展.

2.1体悟数学教学主张首要问题是基于“玩”的天性，引导学生“以身体之”，在“体”中萌动，由无序的“好玩”逐渐走向有序的“体验”

玩是学生的天性，教学若背离了学生的天性，则数学越发变得冰冷而遥不可及.体悟数学思想指导下的课堂，主张抛出问题后，教师应该放手让学生无序地玩，无序地以身体之，无序地收获！

测量A4纸的长宽，学生玩得无序，得出的数据不尽相同，特别是长，有296cm—30cm之间的多个结果，有学生提出为什么就非要21cm×297cm这么大？不好记，也不好算，直接21cm×30cm不行吗，有部分学生根据自己的经验，将297cm四舍五入为30cm，当然算出的长宽比也数据各异，14，133，138，141，……，还有学生算出了宽长比，因为他们猜想A4纸是黄金矩形，对这样无序地玩，无序地体验，教师没做任何纠正和评价，看似浪费了时间，但是学生却在这种亲身体验中，有了感悟！他们感悟到，为了测量结果更准确些，可以将A4纸表示为210mm×297mm，这个297mm不能四舍五入成300mm，A4纸的长宽比似乎应该接近1414……经历了动手、动口、动脑的体验过程，经历没有压力与难题的交流、借鉴和吸纳的过程，学生的思维放开了，开始发芽生长.

《数学课程标准》指出：学生学习应当是一个生动活泼的主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，这样的学习过程，能让学生“学”的个性得到淋漓尽致的展现.因此，“好玩”是“玩好”的开端，无序地“好玩”是为了有序地“玩好”，思维的种子最终会在“体”中萌动，体悟教学会由无序的“好玩”逐渐走向有序的“体验”.

2.2体悟数学教学主张关键问题是基于“学”的特性，引导学生“以心验之”，在“验”中孕育，由多维的求异逐步归于理性的求同

学习是一个积极、主动的建构过程，现代教学理论认为，学习不是学生对教师所授予知识的被动接受，反复练习，强化储存的过程，而是学生以积极的心态主动参与，运用原有知识和经验来探索解决问题，同化新知结构的过程.所以，“学”的本质和特性是自我主动建构.史宁中先生曾说：我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历.智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用，依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨练.

体悟数学教学思想指导下的课堂，是学生借助已有的知识经验，在问题串的引导下，仰赖动手、动口、动脑的积极体验，经历知识的发生、发展过程，学生自己感悟知识的过程！

先让学生测量A4纸的长宽，并计算出长宽比，学生凭借直觉思维（这也是学的特性），顿悟到其与2的关系，此时学生的思维处于感性层面；再让学生借助对A5纸的研究，再次验证，学生的感性思维顺理成章的上升到理性的层面，实现理解思维的一种质变！让学生亲历具体的操作，感受数据从手边自然诞生，学生“学”的特性发挥作用，借助小组合作的力量和集体的智慧碰撞，在“验”中孕育出A类纸都是相似的这一共同特征，由多维的求异逐步归于理性的求同.

2.3体悟数学教学主张核心问题是基于“思”的本性，引导学生“以思悟之”，在“悟”中生成，由多方位的發散渐次收敛于本质的思考

本质的教学并不是只关注活动经验的简单积累，而应更加重视如何能够帮助学生在经验的积累中实现相应的思维发展，更要促进学生的思维品质不断地向更高层次提升.值得关注的是，学生的思维发展又不是可以通过反复的体验，熟能生巧可以简单地实现的.要在活动中让学生有所得有所获，就必须重视反思性思维活动.促进学生自觉思考，引导学生“以思悟之”，在“悟”中生成，自我总结，自觉运用，由多方位的发散渐次收敛于本质的思考.

这节课涉及多边形相似，图形的翻折，黄金矩形等等内容，在前两个活动中，通过生生、师生互动体验，引导学生不断自我觉悟、自悟自得，学生已经积累了相关的活动经验，学生对A类纸是相似的有了共同的感悟，但这种感悟还停留在浅层，如何在体验过程中，真正将数学知识、技能、方法思想内化于心，成为个体不可缺少的一部分？可以尝试理论知识和实践行为之间的融合，使学生能将所学的理论知识很好的转化为具体的实践行为，在解决问题中反思、感悟、生成、内化.

“为什么电视机、电脑等屏幕设计成这样的尺寸，而不设计成那样的尺寸”这一问题，看似与本节课毫不相干，但通过前期铺垫，学生对打印纸为什么称为标准纸的思考中，领悟了打印纸能够让图像放大与变小都不变形的原理是源自他们是相似的，就自然与屏幕设计尺寸有了联想和类比，在“思”的本性的作用下，以思悟之，在“悟”中生成：原来这也用到相似的原理.学生逆向思维与发散思维能力在生长，研究数学的兴趣和创新意识在提升.

可见，体悟数学的落脚点是反思感悟.真正的感悟来源于人们的亲身经历与感受，有的是理性的领悟，有的则是瞬间的顿悟，如突然觉察到似乎不相干的知识、问题、事物之间的关联，认知结构就会有质的改变，这是“思”的本性所决定的.3体悟数学教学主张反思

中国北宋哲学家张载提出关于认识论的两个重要概念“见闻之知”和“德性之知”，见闻之知：听到、看到的，与自己的生命未能融合、共鸣的知识信息，这种“知”缺乏个体体验基础，易知行脱离；德性之知：通过体验获得的，与自己的整体生命融为一体的知识、情感和信念，是人的“第二天性”，直接影响人的行为.

我们的数学课堂中“德性之知”哪里来？取决于教师的教学思想、教学理念、教育主张是否能从学生学习的角度来理解数学教学，从学生内心渴望和经验建构的角度来理解数学教学.

体悟数学教学主张观照下的课堂，教师始终坚守自己的作用，在于通过发挥自身的能动性，提携并引领学生思维品质的提升，引领的过程要突出教师的主导地位和学生的主体地位，教师的主导要通过引领性的问题串来实现，问题串的设计要有度，有计划，有针对性，这些问题串除引出系列活动外，答案往往是多样的.在学生活动中还会派生出许多出人意料的新问题，因而具有明显的可再生性.属于开放型问题，作为相对空白的学生，思维没有教师的固化和成熟，但天马行空的想法和问题却往往能激发出教师更多的灵感，让教师走出固化的思维.还要关注生生间的多维互动，一个人的智慧是无法与几十个思维活跃的学生相比的.学生之间相互感悟、体会而碰撞出的火花是课堂不容忽视的财富.

体悟数学教学主张观照下的课堂，突出强调参与、交流、对话、引导，让真实的学习体验和成长感悟自由生长，让创造力的发展找到依托载体，贯穿始终的两条线：学生定向自悟，教师导向致悟，学生自主体悟，教师点拨启悟.

体悟数学教学主张观照下的课堂，教师不仅关注学生直接的生活经历与体验，以及一切学生可以直接感知、领悟的东西，让生命在场；教师更清楚个体生命是有限的，不可能事事亲为，所以更加关注与个体生活体验、经验发生连接、引发感动的“见闻之知”，走出自我，走出个人体验，从“在场”的个人体验走向“不在场”的广阔世界.强调“以身體之，以心验之、以思悟之”.

体悟数学，让学生亲历问题的重新发现、知识再探索的过程，经历思维的重新审视和内省以及借鉴接纳的过程，实现从“数学好玩”到“玩好数学”的飞跃！

作者简介吴海宁（1968—），女，江苏连云港人，江苏省特级教师，正高级教师.获江苏省教学成果特等奖，国家级教学成果二等奖，江苏省“333工程”培养对象，连云港市港城名师.

数学教学中修辞思想的渗透[基金项目] 2015年度教育部人文社会科学研究规划基金项目“民族数学与数学课程改革”（项目编号：15YJA880107）.教育部“教师教育国家级精品资源共享课：《中学数学课程标准与教材研究》”（教育部办公厅：教师厅涵[2013]2号）.

浙江师范大学教师教育学院350108林梦蝶张维忠