整数乘除法笔算的前世今生

[本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题 “数学史视野下的小学数学教学的案例研究”（批准号：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。]

一、乘法笔算的历史演变

乘法是加法的特殊情况，重复进行同一个数的加法运算就产生了乘法，对这种重复计算的不同处理，就产生了不同的乘法计算方法。早在古埃及纸草书上就记载着一种乘法——倍乘法，也就是先加倍计算，然后组合不同的倍数和从而完成计算（见图1）。虽然倍乘法不具有现代笔算乘法的形式，但在几千年笔算乘法的历史进程中体现了旺盛的生命力。1546年，德国数学家施蒂费儿（备注英文）的著作中将32×13=412写成下面的形式（见图2），明显带有埃及倍乘法的痕迹。

图1

图2

可以想象，当计算的数目大了，倍乘法不仅仅逐次加倍计算很麻烦，而且组合不同倍数和的时候同样不容易。在20世纪初，在欧洲流行着俄罗斯农夫算法，比如要计算49×28，就将49逐步取半并记录在上行，把28逐步加倍并记录在对应的下行位置，如图3。这样算，其中的原理还在于：一个因数扩大的倍数和另一个因数缩小的倍数相同，那么乘积不变。49不断地取半，而与此同时28不断地加倍，所以俄罗斯农夫算法就把“49×28”转化为了“1×896”，这样转化的目的显然是为了回避倍数和的组合。但第一次对49取半得24，相当于少算了一个28；第四次对3取半的时候，少算了一个448，所以49×28的最后结果为：896+448+28=1372。仔细分析一下，896是32个28的积，448是16个28的积，所以896+448+28也就是计算（32+16+1）个28的积，其本质还是倍乘法。倍乘法上述两方面的麻烦可见一斑。

中国古代计算32×13，看作求32的13倍，由于13是由两个不同位值的数字1和3组成的，所以在计算中可以分别计算32的10倍和3倍，然后把结果相加。

虽然，中国古代进行乘法计算的原理和现在没有什么区别，但中国古代的记数和进行算术运算工具都是算筹，即一根根同样长短和粗细的小棍子，表示多位数时，从右到左，纵横相间，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式……依此类推，遇零则置空。算筹的乘法计算，分为三层，上位、中位、下位，依次分别放乘数、积和另一个乘数。计算时把多位数变成一位数去乘多位数，利用“九九口诀”乘一位加一位。还是以 13×32＝416为例，如图4。

从图中可以看出，算筹乘法的步骤与现在的笔算乘法基本一致，不同的是，算筹乘法从高位乘起，积置于两个乘数之间。也因为是借助算筹进行计算，从高位算起，遇有进位，可以很方便地增添算筹，所以，“从哪里算起”在古人看来根本不是个问题。后来，中国古代的算筹乘法在印度出现，但他们变成了写算，用小木棍在撒着红粉的白板上写数和计算（也称“沙盘算法”或“土盘算法”），由于也可以随时改动数字，所以他们的运算步骤与中国的筹算一样，不过把积写在两个乘数的上面。公元9世纪，印度数学开始传入阿拉伯，并同时传入了中国的造纸术，阿拉伯人开始在纸上运算。纸上运算比起中国的筹算和印度的写算来，不能随时改动数字，只能逐次划掉中间步骤所得的结果，因此算式显得很混乱，也容易出错。当欧洲人接受纸上的乘法计算时，就进一步作了改变。1494年，在意大利数学家帕乔利（备注英文）的著作《算术、几何、比与比例集成》中记录的乘法竖式，已经有了现在乘法竖式的雏形，当时叫“叠果法”。仍然以32×13为例，计算成如图5。从乘法计算的书写格式看，和现在相比已经相差无几了。但其计算步骤，和现在的低位算起是不同的，无论是分解成32×（10+3）还是分解成（30+2）×13，都是从高位算起——实际上，不仅仅是乘法运算，加法和减法的运算也都是从高位算起的。但纸笔不像算筹和沙盘那样可以随意改数字，高位算起时进退位带来的麻烦如何解决呢？变化总是在逼迫中产生的，后来人们有了下面的算法：

图5

图6是19世纪前后欧洲计算 “3709+8540+2618+706”，为了解决计算过程中进位的问题，把每次计算的结果都独占一行，这样就把进位的数也写了出来，避免了对进位结果的记忆。图7是欧洲人计算 “748×632”，既有高位算起也有低位算起，其表达的原理和加减竖式基本一致。图8是印度人对于进位的处理，计算 “3709+9840+2618+706”，先算个位的“9+0+8+6”得 23，就在和的个位位置上写“3”，并且向十位进“2”，这个进位的“2”就写在下一行的十位处。也就是说，印度人的竖式中出现了一个专门记录进位数的“进位行”。对于减法计算，只不过“进位行”变成了“退位行”，原先的加法计算变成了减法计算，如图9。如个位上“2-3”不够减，就从十位退“1”，因此在第四行“退位行”的十位上写“1”。

图6

图7

图8

图9

对于加法竖式中的“进位行”和减法竖式中的“借位行”，古代印度人的说法英译为“Obliterating Line”，意思是“可删除的线”。现在竖式中，这一行真的被删除了，使得竖式的写法更为简洁和浓缩。加法、减法、乘法竖式中，不必要记录的删除以及对计算过程中一些思考步骤的压缩，到底是什么时候完成的，这已经不重要了，重要的是现在看来如此规范的写法，曾经是那么繁琐！

回顾历史，一方面我们会感慨于现在纸笔竖式计算的简练，另一方面也会真切感受到繁琐不一定就没有价值，它把计算过程中的每一次思考表达得更为直白和浅显。因此，我们也就不难理解，即便到现在，国外的小学数学教科书中，纸笔竖式计算中还带有如此“多余”的符号和写法（如图10），这种“多余”正是可贵的儿童视角的体现！

图10

二、除法笔算的历史演变

如同乘法的笔算历史演进脉络为 “中国筹算——印度沙盘算——西方纸笔算”一样，与现在最接近的除法笔算形式最早也诞生在中国，同样也是通过算筹进行的。同乘法运算一样，除法运算也是分为三行：上行是商，中行是实（也就是被除数），下行是法（也就是除数）。除数除到被除数的哪一位，就把除数摆到被除数哪一位的下面，除完再往右移。比如计算5984÷16，5不够被16除，就用59除以16，把除数16摆到被除数“59”下面，如图11中第①步，16去除59商3，被除数还余1184，将16右移一位，如图11中第②步，如此下去，直至得到最终结果374。若除不尽，就摆在那里成带分数形式。

图11

这种除法，后来也以沙盘算的形式在印度出现，当传入阿拉伯后，因为在纸上计算的缘故，如同乘法计算一样，他们逐步用斜线划去无法直接抹去的数字，演算完毕就在纸上留下了一行又一行划去的数字，整个算式好似一只帆船，这就是历史上的帆船除法。帆船除法在欧洲盛行了相当长的时间，直到17世纪末18世纪初才逐步被现行的除法所取代。

图12

历史上众多运算，已经表明除法和减法运算的内在联系。所以，17世纪末18世纪初，欧洲出现了如图12所示的除法运算。计算“1554÷37”，其基本思路是从1554中反复减去37，直到结果为0，减去的次数就是除法运算的结果。为了使减去的次数尽量少，无疑首先设法从被除数中减去除数的整十倍（被除数如果足够大，也可能首先设法减去除数的整百或整千倍）。因此，图中第Ⅰ步减去“37”，实际上是减去了 370，还剩“118”，其中个位上的4省略没写。第Ⅱ步从 “118”中再减去“37”。

当被除数和除数都比较大时，比如“22028148÷423”，无法一下子找到能从被除数中减去除数的多少倍数时，人们想出了首先罗列除数的倍数，而后从被除数的高位起逐步减去除数的合适倍数，如图13。图中最左边部分，分别罗列了除数423的1～9倍各是多少，对照各个倍数，首先从22028148的前四位中减去423的5倍，并在被除数的右边标出第一次的商“5”。第一次减去除数的5倍后，还余“87”和被除数千位上的“8”合起来是 “878”，423的2倍最接近878……重复前面的过程，直至减的结果得0。这个除法运算的表达，和现行教科书的写法已无本质区别，只不过省略了除数倍数的罗列以及商写的位置有所不同。

图13

和四则运算中的其他运算相比，除法运算需要的思考是最复杂的，因此，人类对于除法笔算方法及其运算过程记录的探索也最为艰难。以732÷6为例，人类不断优化除法运算笔算方法的过程大致呈现了如下的过程

图14