浅谈新课标下高中数学导数问题的几大热点

邓解强

摘 要：有关导数在函数中的应用，主要类型有：求曲线的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习本章的重点，也是“新课标”下高考的重点和热点。导数在函数中的应用，是分析和解决函数问题的有效工具。

关键词：导数 曲线的切线 单调性 极值和最值

导数应用的重要性和广泛性，我们从每年高考的《考试说明》当中可以充分体会到。有关导数在函数中的应用，主要类型有：求曲线的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点和热点。由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法，因此在高考中占有较为重要的地位，其考查重点是利用导数求曲线的切线方程、函数的单调性、函数的极值和最值、不等式的证明等问题方面。本文简要谈一下导数在这几个方面的应用。

一、利用导数求曲线的切线方程

例1：（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。

解：f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），当x<0时，f（x）=ln（-x）+3x，即有x>0时，时f（x）=lnx-3x，f′（x）=1x-3，可得f（1）=ln1-3=-3，f′（1）=1-3=-2，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程为y-（-3）=-2（x-1），即为2x+y+1=0。

例2：求在点处的切线方程。

解：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，

又，故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

点评：要注意所给的点是否是切点，若是，可以直接利用导数的几何意义求解；不是则需设出切点坐标，再结合导数的几何意义、直线的斜率求解。

二、利用导数研究函数的单调性问题

例3：（2016年全国II高考节选）讨论函数的单调性，并证明当时，。

解：由得

∵ 当时，

∴在上单调递增

∴时，

∴ 。

例4：已知函数在上是减函数，求的取值范围。

解：由题意得， 在上是减函数，在上恒成立，且，即且，。

点评：函数的单调性是函数的重要性质，是高考的热点问题。若利用定义求解，一般较为复杂，但新教材引入导数以后，则有效地解决了这一问题。利用导数判断函数单调性的法则为：在区间D上，若，则在D上是增函数；若，则在D上是减函数。反之，若在D内可导，且若在D上是增（减）函数，则一定有。

三、利用导数求函数的极值与最值

例5：函数在处有极值10，求的值。

解：

∵

∴f′（x）=3x2+2ax+b

∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10

∴ f′（1）=3+2a+b=0， f（1）=1+a+b+a2=10

解得或，当时

f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），当时

f′（x）<0， 当x>1时， f′（x）>0，满足x=1处为极值点

当时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2

易知在x=1的两侧f′（x）>0，

故x=1不是极值点，应舍去。故只有a=4 ，b=-11满足题意。

点评：可导连续函数在处的导数是在处取得极值的必要但不充分条件，故需验证满足在x=1的两侧单调性相反，即导数异号才为极值点。

例6：

求函数在区间上的最大值和最小值。

解：令化简为

解得或。其中舍去

又由且，得知函数的单调递增区间是，同理， 得知函数的单调递增区间是。

所以为函数的极大值。

又因为。

所以，为函数在上的最小值，为函数在上的最大值。

点评：求函数在某闭区间上的最值，首先需求函数在开区间内的极值，然后，将的各个极值与闭区间上的端点的值、比较，才能得出函数在上的

最值。

四、导数的综合运用

近几年高考数学导数命题基本方向没变，首先用导数研究函数的性质（单调性、极值、最值等），然后用所得到性质综合处理函数图像、方程根的分布、不等式等有关问题，这也是教学中的难点，值得注意。

例7：（2015年新课标2理12）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

解：设g（x）= ，则g（x）的导数为

∵当x>0时，总有xf′（x）0时，g′（x）恒小于0。∴当x>0时，函数g（x）=f（x）x为减函数，又∵函数是奇函数，∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又g（-1）=f（-1）-1=0，∴ 函数g（x）的图象类似如上图，由数形结合思想可得，不等式f（x）>0?x·g（x）>0?或?0

例8：当时，证明不等式 。

证明：设

可求得其定义域为（-1，+ ∞）。由 （时，）可知，f（x）在（-1，+ ∞）上是增函数。又，∴

即。故对一切都成立。

点评：我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函數的单调性。

导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具。因此，在日常教学中， 遇到函数问题，要有意识引导学生用导数来解决问题，要突出导数的工具性。这样，学生在参加高考时，才能做到知己知彼、百战不殆！