一种基于二叉树与回归分析法的可转债定价模型研究

滕菲菲

摘 要：重点研究二叉树法和回归分析法在可转债定价中的应用，介绍了本文重点使用的两个研究工具——二叉树模型和回归分析法、应用背景及其在可转债定价上的优势，通过回归分析法验证了二因子定价理论的科学性，。第四部分是本文的重点章节，运用二叉树法对9支可转债样本进行了定价，结果证明二叉树模型在模拟欧式看涨期权价格上具有一定的准确度。运用回归分析法求出可转债的实际价格和理论价格的函数关系式，对函数关系式进行了F检验，并对样本进行了预测，成功预测了其中7支可转债的走势，2支由于受到赎回和政策处罚导致预测失败。

关键词： 二叉树法 回归分析法 可转债定价 金融衍生品

一、二叉树模型建立

（一）假设无风险收益率固定

首先建立单步二叉树模型，以So为起点，Su、Sd为终点。So是可转债的定价日，终点Sd与Su则是可转债的到期日。

其次，在[Δt]的选择上，数值越小越好，因为可转债的存续时间较长，通常在5年左右，所以设定t=1/12。

第三，计算可转债理论价格。当股票上升时，有效期末组合价值为[Sou-fu]；当股票下降时，有效期限组合价值为[Sod-fd]。

以股票价格上升阶段为例，探讨二叉树法的计算过程。

在股票价格上升阶段，根据无风险套利原则可知：[SouΔ-fu=SodΔ-fd]，求出[Δ=fu-fdsu-sd]；

此時，在To时刻的可转债的买入成本为[SoΔ-fu]；To时刻之后的可转债的现值为[[SoΔ-fu]e-rt]；股票价格下跌阶段的可转债现值推导过程与上涨阶段类似。

令[SΔ-f=[SuΔ-fu]e-rt]，[Δ=fu-fdsu-sd]；

能够得出[f=ert[pfu+（1-p）fd]]；

其中： [p=a-du-d] ；[a=erσt]；[u=eδtσ]；[d=eδt-σ] ；

在这种定价方法中，根据风险中性原则认为股票的期望收益率等价于无风险利率。

（二）选择连续无风险复利率

连续无风险复利理论数值=无风险利率+预期的通货膨胀率+补偿投资者的风险利率。选择同期限国债收益率与银行定期存款利率孰高作为贴现率，最终确定连续无风险复利率约为5%，并且假设在可转债存续期间内无风险利率不变。

实际中的贴现率与企业信用评级挂钩，根据利率期限结构理论，可转债存续期的长短对理论水平有一定的影响。利率期限结构理论指的是某个时点上，不同期限资金的收益率（Y）与到期期限（M）之间的关系。利率期限结构理论是描述利率随时间变化而变化的重要理论，在此基础上形成的收益曲线对未来长期利率走势具有较好的预测功能。

样本可转债的存续时间均为5年以上10年以下，因此利率期限结构理论对定价结果的影响不大。

（三）选择历史波动率方法计算股票波动率

股票价格波动率的计算较为复杂，自可转债发行之日为起点观测股票价格，选择两年415个交易日的股票交易价格，剔除因为派息、送股、增发和配股影响造成的异动价格，对股票价格取自然对数1nPt，先计算股票的收益率。

以格力地产为例，对股票收益率绘制直方图，验证可转债收益率满足正态分布。最后按照全年260个交易日计算，年化为股票波动率，将其作为可转债定价的基本参数[σ]

选择2014—2016年的共计415个股票交易日的收盘价格，计算股票收益率并求出频数，绘制出价格分布直方图。从得到的图像来看，格力地产股票收益率基本符合正态分布。

二、二叉树与回归分析法计算可转债价格模型建立

（一）回归模型的建立与检验

[理论价格与实际价格回归统计表＼&Multiple R＼&0.995633＼&R Square＼&0.991285＼&Adjusted R Square＼&0.866285＼&标准误差＼&12.1765＼&观测值＼&9＼&]

建立回归预测模型与模型的F检验

根据变量之间的相关关系，用恰当的函数公式表达出来。通过绘制9支有效样本理论价格和实际价格的散点图，运用软件求导出关于可转债实际价格的回归方程：

[y=0.0013x4-0.6692x3+125x2-10329x+318675]

其中R平方值为 = 0.8501，R∈[0，1]，两者满足正相关关系，同时R平方值为0.8501，说明可转债实际价格与理论价格高度相关。

[F-检验 双样本方差分析＼& ＼&理论价格＼&实际价格＼&平均＼&122.5328＼&120.6323＼&方差＼&120.9703＼&91.6296＼&观测值＼&9＼&9＼&Df＼&8＼&8＼&F＼&1.32021＼&＼&P（F<=f） 单尾＼&0.351895＼&＼&F 单尾临界＼&3.438101＼& ＼&]

综上所述，本模型理论上满足统计学的检验指标，可以用于预测样本可转债实际价格。

（二）利用该模型预测可转债实际价格

洛钼转债在观测期内发生提前赎回小概率事件；15天集EB实际价格虽然与预测价格差距较大，但可转债价格较前一个交易日上涨了0.11元，该模型成功地预测了上涨趋势；航信转债在2016年3月因为交易异常遭到了证监会的处罚。

综上所述，9支可转债中成功预测了7支可转债实际价格变化趋势，最小的误差仅为0.4元，该模型能够较好的预测可转债理论价格。