图形认知结构视角下数学思想方法的运用

胡蔡劼

【摘 要】数学思想方法是学习数学的精髓，图形认知结构则是学生理解空间几何的架构，在图形认知结构上的缺失往往造成数学思想方法运用上的困难。本文以几道图形趣题为例，从图形认知结构的视角上对数学思想方法的运用进行了分析和阐释。

【关键词】图形；认知结构；数学思想方法

数学思想方法是数学学习的精髓。教师在数学教学中不仅应当注重知识建构与解题方法的指导，更应该重视渗透数学思想方法，培养学生的数学思维，形成基本素养。而图形认知结构是学生在学习空间与几何的过程中逐步建立起来的认知途径，对理解与解决几何问题具有方向性的指导作用。学生在图形认知结构上的缺失往往造成数学思想方法运用上的困难，此时图形认知结构的再建就成为运用数学思想方法解题的关键。

一、从简单到复杂VS运用转化思想化繁为简

图形认知结构遵循着一般认知结构的基本特点“从简单到复杂”，新的知识和技能在旧有知识结构上树立起关联。例如，我们对图形的学习路径一般是从一维到多维的，低维图形的运动轨迹组合形成了高维图形；又如，学习平面图形从简单的三角形、四边形到多边形等。因此，“转化”的数学思想方法有助于在解题中沟通几何问题与基本事实间的联系。

例1：已知O为圆锥的顶点，E为圆锥底面上的一点，点P在OE上。一只蚂蚁从P点出发，绕圆锥侧面爬行一周，回到点P时所经过的最短距离是多少？

分析：蚂蚁的爬行路线在三维曲面上难以确定，选择侧面展开为扇形后，“两点之间线段最短”，即求线段PP的长度。结合所给条件可以求出扇形圆心角是60°。由于“图形在旋转运动中具有不变性”，OP=OP=2cm，使得△OPP成为一个“含有60°角的等腰三角形”，即是等边三角形了。因而得出PP是2cm，就是绕圆锥侧面一周最短距离。

点评：从复杂的三维“曲线”，到平面中线段长度，从扇形到圆，从等边三角形到一边，将复合的复杂问题转化为几个具有联系的简单问题并解决，这正是“转化”数学思想的妙用，而其中图形认知结构所起的作用就是将简单与复杂的图形联系起来，从中寻找可供转化的“蛛丝马迹”。

二、从特殊到一般VS运用类比归纳寻找突破

对于不同类别的图形，除了从简入繁外还常用“从特殊到一般”来建立圖形认知结构，启发我们发现图形之间的横向联系。如“当平行四边形的一个角是直角时，就成为长方形”，又如“梯形面积公式同样适用于三角形和平行四边形”，同理也可以发现圆柱、圆锥、圆台体积之间的联系——而这种从特殊到一般的图形认知结构，也有助于“类比归纳”这种数学思想方法的运用。

例2：国际象棋棋盘上有黑白相间的64个正方形格子，问其中存在几个不同的长方形（位置不同即不同），使得它所包含的黑白格子数不同？

分析：考虑到“正方形是特殊的长方形”，先计算长方形再减去其中的正方形就能简化题目。长方形（含正方形）是由长、宽组合而成的，为了使黑白格子的数量不同，长、宽都要是奇数。长或宽是奇数格的可能分别为8、6、4、2种，因此符合条件的长方形（含正方形）的总数是（8+6+4+2）2=400个。但其中包含边长为1、3、5、7的正方形个数分别为64、36、16、4个，剩下280个就是符合条件的长方形（不含正方形）的数量。

点评：如果用转化的思想，将棋盘变小以寻找规律，同样可以简化问题。但是将长方形和正方形合起来计数，再扣掉其中“特殊”的正方形，运用的则不仅仅是将长方形和正方形进行类比，归纳其“都由垂直的长、宽决定大小”的共同点，也是分析出“长、宽的长度相同与否决定是否是正方形”区别所在的关键——这种“从特殊到一般”的图形认知结构往往是类比归纳的基础，成为解题的突破口之一。

三、从具象到抽象VS运用数形结合恰当建模

图形的学习还遵循“从具象到抽象”的认知结构，从低级的触摸感受、实地测量到高级的抽象理解与推理，抽象思维逐步成为思维主通道——我们可以把一辆小车想象成一个点，也可以把时间的流转看作点的运动，著名的“哥尼斯堡七桥问题”就是这样建模成“一笔画问题”并得到解决的。这种“具象&抽象”的思维可以帮助我们构建数学模型，运用数形结合的数学思想方法解决许多问题。

例3：甲、乙两人约定在晚上7点到8点之间碰面，并约定先到的人要等20分钟，如果另一个人还没来，就直接走掉。那么两人碰面的概率是多少？

分析：单独“时间点”无法分析，要用数形结合的思想在连续的线和面来看。在平面上建立直角坐标系，xy轴分别为两人在7点后的到达时间，正方形中的每个点都表示他们俩各自到达的时间点。其中|x-y|≤20之间的部分就是时间相差不超过20分钟的情况。因此，相遇的概率就转化为阴影部分面积与正方形面积的比，是。

点评：时间是不可分割的，线段也是由无数个点组成的，因此产生了“时间轴”、“时间点”的说法，而能将概率问题转化为求图形的面积问题的建模思想，正是利用了图形认知结构中两者的相似性作为依据的。

四、总结

通过以上的几个例子可以发现，数学思想方法在几何问题中的运用是需要依赖一定的图形认知结构的，正确的图形认知结构有助于在解决几何问题中运用恰当的数学思想方法。

其实，数学思想方法还有很多（分类讨论、枚举、集合、推理、优化……），图形认知结构也有不同层次，它们之间并不是——对应的（有时运用某种数学思想方法需要依赖多种图形认知结构作为分析的基础，而某种图形认知结构可能引发多种数学思想方法的融合运用），但是在几何问题中，只有正确了解并“唤醒”问题所包含的图形认知结构，才是找到并运用相应数学思想方法“金钥匙”的关键。

【参考文献】

[1]王永春.小学数学教材与数学思想方法[J].课程·教材·教法，2015，（第9期）：44-48

[2]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014，第23卷（第3期）：11-15

[3]沈恩杰.小学数学中如何给学生进行空间与图形的教学[J].魅力中国，2016，（第24期）