中考中的等腰三角形问题

余旭红

中考中的等腰三角形问题

余旭红

近年来，有关等腰三角形的试题经常出现在中考中，并且形式多样，内容新颖.其重要考点是等腰三角形的性质与判定，下面就重要考点举几个例子加以说明，与同学们交流分享.

一、画图探究等腰三角形的个数

例1（2016·武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）.

A.5B.6 C.7D.8

【解析】①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；

图1

如图1，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除.故选A.

【点评】此题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形性质，是中考一类比较常见的题型.本题通过画等腰三角形引领同学们动手，动脑，渗透分类讨论思想，能够培养同学们的发散性思维能力.

二、裁剪思考等腰三角形的个数

例2（2015·通辽）如图2，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为.

图2

【解析】分三种情况计算：

（1）当AE=AF=4时，如图3：

图3

（2）当AE=EF=4时，如图4：

图4

则BE=5-4=1，

（3）当AE=EF=4时，如图5：

由图1可知，酶解pH在4.0～5.5时，随着提取液pH的升高，龙牙楤木皂苷得率不断提高，在酶解pH 5.5时达到最大值，为3.89%。当酶解pH超过5.5，皂苷提取得率急剧下降，在酶解pH 6.5时皂苷得率下降22.37%，这可能是因为酶解pH不适宜既破坏酶的构想，也影响底物、辅酶及酶活性部位相关基因的解离程度，从而影响酶分子对底物分子的结合和催化，因此只有特定的pH值条件下，解离状态最适宜酶、底物和辅酶的相互结合，从而使酶反应速度达到最大值[17]。

图5

则DE=7-4=3，

故答案为：8cm2或215cm2或27cm2.

【点评】本题主要通过裁剪让同学们体会等腰三角形的腰长的不确定性，同学们要进行分类讨论.本题还考查了矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，有一定的难度.

三、推理计算等腰三角形的个数

例3（2015·河北）如图6，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=.

图6

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，……，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解.

由题意可知：AO=A1A，

解得n＜10.故答案为：9.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.考查方式灵活，需要同学们有一定的分析能力和解题迁移能力，这是近几年中考的方向.

四、分类讨论等腰三角形的周长

例4（2016·荆门）已知3是关于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）.

A.7B.10C.11D.10或11

【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m= 0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1= 3，x2=4.

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长：

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10.

综上所述，该△ABC的周长为10或11.故选：D.

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据三角形的三边关系通过分类讨论先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可.

五、推理证明等腰三角形的存在

例5（2015·宜昌）如图7，一块板料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.

（1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数.

图7

【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC.由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，即AB=AE.

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°.由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，是比较常见的几何问题.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）