充实与丰富数学概念教学内涵的若干思路

王钦敏 余明芳

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

数学概念教学的重要性已成共识，但仅少量举例，未经逐步抽象与概括即对概念下定义与分类，将教学的重心放在对概念的记忆和解题应用方面，仍是日常课堂常见现象。这种置概念的引入解说、抽象概括、辨析建构与认识提升等环节于不顾的设计，教学内容苍白贫乏，阻遏了学生想象与创造的空间，无法体现概念教学的内涵与价值。

追寻数学教育的真谛，开发概念教学在数学素养培植方面的功能与价值，需要充实与丰富概念教学内涵，使之更有助于兴趣的培养、理解的形成与认识水平的提高。在实际教学中，如何充实与丰富数学概念教学的内涵，是许多教师倍感困惑的问题，也是一个需要深入研究的教育难题。对此，笔者就日常概念教学常见弊端，提出以下四个思路。

一、解说引入因由与作用,激发学习兴趣提高文化素养

对引入概念的因由与作用，教材多有简要说明，如引入函数概念时会指出：为了描述运动变化现象中变量间的依赖关系，需要在数学中引入函数概念；通过研究函数的性质，可以了解事物的运动变化规律；函数知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用。此类引入言简意赅，但若照本宣科地讲述，就显得十分空泛。

新概念的引入，会让缺乏认识基础的学生产生各种疑惑，在引入解说时除惑解疑，有利于学生理解并接受概念的意义。例如，引入函数概念时，学生没有意识到事物运动变化的绝对性与联系的普遍性，就难以认识到函数概念的哲学含义，继而可能对概念的现实意义与理论价值感到疑惑；教学中，引用视频说明运动变化是物质的存在形式与固有属性，介绍哲学家赫拉克利特的“太阳每天都是新的”“人不能两次踏进同一条河流”等观点，以具体事例证实事物间存在联系，可以除惑解疑并丰富函数概念教学的思想内涵。

解说引入概念的因由与作用，可围绕教材的简要说明有序展开，但要力求具体丰富，旨在激发学习兴趣与好奇心。例如，解说变量间的依赖关系，可具体地以圆的半径增长会使其周长增长为例，指明圆的周长公式是一次函数，利用函数可精确刻画变量间的依赖关系；再如，解说“研究函数性质可了解事物的变化规律”时，可将其延伸为“了解变化规律即可藉以预知未来”，并介绍法国数学家拉普拉斯曾提出的科学假设：如果有一个智能生物能确定从最大天体到最轻原子的现时运动状态，它就可以按照力学规律与数学原理推算出整个宇宙的过去和未来状态。

引入解说时介绍概念产生的历史背景及其在各领域应用情况，可让学生对数学的思想与精神有所感受，从而丰富概念教学在提高学生数学文化素养方面的教育内涵。如在函数概念引入教学中，回顾历史上函数概念被众多数学家不断精炼与深化的过程，帮助学生从史实角度了解函数概念的来龙去脉，可以让学生体会数学家研究数学的思维方式与精益求精的精神；以牛顿运动学与力学公式为例解说“函数知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用”，可以让学生体会到数学与物理两个学科思维方式上的一致性，认识到函数等数学思想在推进人类科学文化发展方面的重要地位与作用。

二、引用有趣的恰当事例,让学生亲历抽象概括，学会探究

抽象与概括是形成数学概念认识、探索发现数学新知过程的主要思维活动，充实与丰富数学概念教学在培养创新思维意识方面的教育内涵，应引导学生亲历抽象与概括的思维过程，以提高学生探究与发现数学概念与新知的能力。［1］引导学生亲历抽象与概括的思维过程，需要教师在课堂提供较多有趣的恰当事例，如果事例太少，有以偏概全之嫌，也不符合数学概念产生的实际情况。

恰当事例能促进和加深对概念的理解，不恰当事例则会引发误解，须详加甄别。例如：银行年存款利率均为p时，存入x元，年到期本息和y=（1+p）x是由 x唯一确定的值，引用这个事例，在引入函数关系概念时是恰当的；商品销售收入与广告支出经费有着密切联系，但不具有确定性，引用这个事例，在引入相关关系概念时是恰当的，但引入函数关系概念时是不恰当的，只能作为反例。

提供了事例后，还需要给学生提供时间与机会，让学生能亲历抽象与概括过程，学会自主探究。例如，在引入二面角概念时，教师提供各种实物与图案（未必都含有二面角形象）后，应让学生独自观察和比较，耐心等待大部分学生在真假错杂的感觉中整理出关于二面角形象的直观认识，指出二面角是两个平面相交生成的事实，然后要尽可能放慢启发与引导的节奏，让学生有时间与机会通过切割与转化，发现并提出二面角的平面角概念。

如果学生在抽象与概括时毫无头绪，可提出一些问题，让学生在探究问题的过程中，逐步通过观察、比较、分析、归纳、类比与推广进行抽象与概括。［3］例如，在引入平面的法向量概念时，可让学生思考如何用向量公式计算二面角大小的问题，或如何用向量表示一个平面所在方位的问题，然后引导学生重新观察直线与平面垂直的现象，比较分析平面所在方位与直线方向间存在的关系，归纳出“两平面平行，与它们垂直的直线也相互平行”的结论，进而类比平面解析几何中直线的方向向量概念，通过推广获得平面的法向量概念。

三、注重内涵辨析与关系建构,促成系统的认知与理解

经过抽象概括、下定义与分类后，学生对概念的认识还是孤立的。孤立的概念认识脱离了已有概念知识体系，无法让学生从知识的联系中明确概念的内涵、意义与作用，因而，充实与丰富数学概念教学内涵，需要引导学生对概念的内涵进行辨析，并将其置于已有概念知识体系进行关系建构。

对概念内涵进行辨析，应对新旧概念的要素做比较分析，让学生对新旧概念内涵有更清晰的认识。例如，辨析函数概念，应联系映射概念进行要素比较，让学生明白，只有映射中给定的两个非空集合都为数集时，才能成为函数；辨析三次函数曲线的切线概念，应联系圆锥曲线的切线概念进行要素分析，让学生明白：圆锥曲线与其切线只有一个交点，但三次函数曲线与其切线可以有两个交点，而且，与椭圆只有一个交点的直线一定是切线，但三次函数曲线与抛物线、双曲线一样，与之仅有一个交点的直线未必是切线。为了让学生能更深刻理解新概念的内涵、意义与作用，还需要将其置于已有概念知识体系，通过探求新旧概念间的联系进行关系建构。例如，将复数概念与方程的解、复平面上的点相联系，才能让学生理解复数的存在性与几何意义；将向量概念与复数的几何表示法、物理中的矢量相联系，将其运算规则与复数的相类比，才能让学生理解向量的意义与作用。

教学课时是间断的，教材知识的推演通常也是单维定向的，因而，学生在日常数学教学中所获的知识，往往也是零散不成体系的，知识间缺少关联，无法形成扎实的网状结构。这种碎片化现象在数学概念教学中也是普遍存在的。需要重视的是，碎片化现象对学生的数学学习有重大影响，某调研表明，学困生对单元、学科知识联系的认识程度分别是50%与30%，而学优生则高达88%与75%。

内涵辨析与关系建构可以促成系统的认知与理解，使新的概念认识自然融入已有知识体系，使知识结构得到巩固、更新与扩充，使学生得以从系统知识相互联系的角度理解新概念。例如，在椭圆概念教学中，探究椭圆与圆的类比关系、圆与正余弦曲线的生成关系、圆锥中椭圆与正余弦曲线的图形联系、三者的参数方程形式联系，可以让学生对椭圆概念有新的理解，对与椭圆有关的知识结构有系统认识。在教学中有意识地对概念进行内涵辨析与关系建构，促成系统的认知与理解，才能使概念教学远离碎片化，使概念教学内涵愈加充实与丰富。

四、启迪学生感悟思想把握规律,致力提高数学认识水平

函数、向量、随机与极限等核心概念堪称中学数学知识之源，它们是数学家运用数学思想方法的思维结晶，深刻反映了现实世界空间形式与数量关系的本质属性与辩证规律。深度体现数学概念教学在提高学生思想认识水平方面的教育内涵，须在概念教学中启迪学生感悟核心概念所蕴含的思想方法，把握核心概念所体现的辩证规律，使其成为解决问题的思维利器，并贯穿在与之相关的其他概念知识教学中。

核心概念大都蕴含了模型化、简单化、坐标化等重要数学思想，体现了运动变化、普遍联系、对立统一和量变引起质变等辩证规律。启迪学生感悟思想方法把握辩证规律，应致力引导学生体会深蕴其中的求变意识与化归智慧。例如，在导数概念教学中，应致力引导学生理解化动为静、化曲为直、化无限为有限等思想方法，并在概念知识应用中增强其求变意识与化归时的目标意识。

变的意识与化的智慧是数学思维的精髓，是解决问题的利器。命题变更是解决数学问题的基本思想，其中的因果、数形、整零、和积、动静等转换，都需要强烈的求变意识，而配方法、消元法、换元法、待定系数法、构造法、面积法、参数法、降次法、拼凑法、割补法、反证法等常用数学方法，也都只是转化与化归这一思想智慧的具体体现。［4］

核心概念蕴含的思想方法统领了各章节知识的内容与演绎方向，因而，在与之相关的其他概念知识教学中，也需要体现或贯穿核心概念所蕴含的主要思想方法。例如，数列是特殊的函数，因而在数列教学中，要引导学生从函数思想的角度理解数列概念，逐次将函数的研究思路与方法延展到数列，将一次、指数函数的某些性质分别移植到等差、等比数列，此外，还可介绍数列与函数共有的极限概念，使知识进一步融会贯通。

在关系建构后启迪学生感悟思想把握规律，可以帮助学生提高数学认识水平，深度体现数学概念教学的教育内涵。启悟可使学生觉察到数学思想方法背后的精神智慧，以及知识整体的和谐有序，学会从审视数学思想与精神之美的层面认识数学［5］；启悟还可使学生认识到各概念知识与方法间的一致性，体会到数学中广泛存在的统一性，从而能逐步地将所学知识融会贯通纳入同一范畴，归结出能统一更多内容的、更高水平的数学思想，并以之为思维利器，用以寻求处理问题的最佳方式。

五、结语

数学概念是数学知识的结构根基与网络枢纽，日常数学概念教学内涵缺失，易导致学生出现题解错误与学习困难。从学情、教材和以上思路出发，充实与丰富概念教学内涵，能行之有效地提高学生的学习兴趣，让学生更完整地理解数学概念，形成扎实的知识结构，将数学认识水平提升到审美与思想的层面，从而可以更好地发挥概念教学在数学素养培植方面的功能与价值。

［1］章建跃.数学概念教学中培养创造能力［J］.中小学数学（高中版）.2009（11）.

［2］王钦敏.教材边上好数学［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［3］章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学［J］.数学通报，2009（6）.

［4］王钦敏.如何对数学教材进行有益的拓展与改造［J］.数学通报，2013（1）.

［5］王钦敏.感受数学美的两个重要途径［J］.数学教育学报，2014（2）.