例说2016年高考试题中物理模型的抽象与还原

丁岳林

例说2016年高考试题中物理模型的抽象与还原

丁岳林

（江苏省常州高级中学，江苏常州 213003）

物理模型无论对物理学研究还是物理的学习都是很重要的，新颁《普通高中物理课程标准》（征求意见稿）中“模型构建”是出现频度最高的热点词语，新课标关于学科核心素养四个维度之一的“科学思维”中有这样的表述：“科学思维主要包括模型构建、科学推理、科学论证、质疑创新等要素”．新课标在课程内容、学业质量标准、实施建议等部分反复明确模型构建的要求．例如，必修1部分的第1章“机械运动与物理模型”，要求通过质点模型、宇宙大爆炸理论模型和物质微观结构模型的案例体会物理模型在物理学研究中的意义．在有关核心素养的水平划分中，5个不同阶梯的水平对构建物理模型提出由低级到高级的明确标准：知道物理学的研究需要建构模型；知道常见的物理模型；能使用简单的物理模型解决问题，能判断现实物体和理想模型的异同；能根据解决问题的需要建构物理模型；能根据解决问题的需要建构恰当的物理模型．

物理模型通常分为3类，第一类是实体物理模型，用来代替由具体物质组成的表征研究对象的实体系统．如质点、点电荷、单摆、弹簧振子、理想气体、理想变压器、薄透镜等；第二类是条件模型，把研究对象所处的外部条件理想化．如光滑水平面、轻杆、轻绳、均匀介质、匀强电场等；第三类是物理过程模型，对具体物理过程纯粹化、理想化的抽象．如热学中的等温过程、等容过程、等压过程、绝热过程．力学中的匀速直线运动、匀变速直线运动、斜抛运动、匀速圆周运动和简谐运动等．

纵观近年来高考命题，对构建物理模型的考查已体现出较高的要求，一些高考题的命题是将实际问题进行抽象，呈现在考生面前的是一抽象模型，而解题过程往往要将抽象模型还原（化归）为直观模型（或基本模型）；有一部分高考题的命题呈现在考生面前的是实际问题，解题过程中又需要将实际（模型）情景抽象成理想化模型．本文试以2016年高考试题为例来谈谈物理模型的抽象、还原与等效．

1 等效匀加速直线运动模型的应用

例1．［2016年江苏高考卷第15（2）题］回旋加速器的工作原理如图1（a）所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图1（b）所示，电压值的大小为U0．周期．一束该粒子在时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为0．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求：粒子从飘入狭缝至动能达到最大所需的总时间t总．

图1

图2

解析：回旋加速器工作时，粒子在电场中做匀加速运动，在磁场中匀速率回旋，可以作出粒子的速率v与时间t的函数图像如图2，图中各段倾斜直线对应着粒子在电场中的加速运动，设粒子在电场中各次运动时间依次为t1、t2、t3…、tn，随着一次次加速，粒子每次通狭缝的时间越来越短；过图中的各段水平线对应着粒子在磁场中的回旋，由磁场中回旋的特点知道，各次在磁场中的半圆周时间都相等．

粒子在电场中的各次时间并不相同，怎样求解粒子在电场中的时间是本题的难点．常规的方法是对粒子各次通过电场狭缝过程运用运动学公式求解时间，然后求和．

……

其中vn－1＝a（t1＋t2＋…＋tn－1）

粒子在电场中运动总时间tE总＝t1＋t2＋…＋tn．

解以上各式，可以得到tE总，但计算非常复杂，此处不作展开．

图3

本题的巧妙解法是建立等效运动模型，在图2中，将粒子各次匀速率运动的部分剔除，再将各段匀加速运动的部分合并到一起，如图3，粒子在电场中的运动等效于初速度为0的匀加速直线运动，加速度，总位移为x＝nd，由，解得，粒子从飘入狭缝至动能达到最大所需的总时间t总＝tB总＋tE总，解得

以上求解粒子在电场中运动时间技巧性很强，采取化零为整的方法，将分阶段的多次匀加速直线运动进行合并，用一次性连续的匀加速直线运动模型来替代，回避了复杂的求和运算过程，使问题顺利得到解决．

2 等效斜抛运动模型的应用

例2．（2016年全国高考卷Ⅰ第20题）如图4，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知

图4

（A）Q点的电势比P点高．

（B）油滴在Q点的动能比它在P点的大．

（C）油滴在Q点的电势能比它在P点的大．

（D）油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小．

解析：带电油滴在匀强电场中，受重力G和电场力F共同作用，可用“等效重力G′”替代，因其轨迹在竖直平面内，且相对于P的竖直线对称，可以判断G′方向竖直向上，这是一“倒置的重力场”，油滴的运动轨迹为抛物线，即油滴做“类似斜抛运动”，P点为等效的“最高点”．

重力方向竖直向下，电场力的方向必定竖直向上，且电场力大于重力，运动电荷带负电，所以匀强电场的方向竖直向下，易知，Q点的电势比P点高．油滴从Q到P 为“上升阶段”，动能减小，（电）势能增大．油滴做匀变速曲线运动，加速度恒定．本题正确选项为（A）、（B）．

图5

例3．（2016年海南高考卷第6题）如图5，平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°角，上极板带正电．一电荷量为q（q＞0）的粒子在电容器中靠近下极板处．以初动能Ek0竖直向上射出．不计重力，极板尺寸足够大，若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为

图6

解析：建立如图6所示的直角坐标系，带电粒子在匀强电场中仅受沿y负方向的电场力作用，做类似斜抛运动，电场力（或电场）越小越容易打到上极板，反之，电场力（或电场）越大越不容易打到上极板，临界情形为“斜抛轨迹的最高点”恰好在上极板处，图中设为P点．

粒子从O到P为“斜抛的上升阶段”，在y方向做初速度为voy＝v0sinθ末速度为0的匀减速运动，加速度大小方向沿负y方向．由运动学公式得，将θ＝45°，代入，解得

3 等效简谐运动模型的应用

例4．（2016年上海高考第25题）地面上物体在变力F作用下由静止开始竖直向上运动，力F随高度x的变化关系如图7所示，物体能上升的最大高为h，h＜H．当物体加速度最大时其高度为________，加速度的最大值为________．

图7

解析：本题的常规解法如下，从图7可以得出力F随高度x的变化关系F＝F0－kx，其中k＝，物体到达高度x＝h处时；物体从高度x＝0到x＝h处的过程中，力F做正功，重力G做负功，由动能定理可得珚Fh＝mgh，而珚F＝，可以计算出考虑两个极端位置x＝0和x＝h的加速度，物体在初位置x＝0处加速度a1方向向上，由F0－mg＝ ma1计算得； 当物体运动到末位置x＝ h处时，加速度a2方向向下，由mg－Fh＝ma2，而，计算可得

因此，物块加速度最大的位置是x＝0或x＝h处．最大加速度大小为

图8

本题的直观模型为一竖直方向振动的弹簧振子，如图8，轻弹簧一端固定在坑底的A点，上端栓一质量为m的物块，刚开始时物块被固定在与地面平齐的高度（x＝0），弹簧压缩量为H，即图中D点为弹簧原长位置，释放物块后，物块在BO1C之间做简谐运动．振动过程中，物块受向下的重力mg和向上的弹簧力（弹簧始终处于压缩状态），弹力的大小满足F＝F0－kx，由振动的对称性，物块在振动的两端点加速度最大，且大小相等．在B点，由牛顿第二定律，F0－mg＝ma1，解得

本题的文字叙述和题图中所涉及到的字母F0、H、h可作为已知条件，质量m不是已知条件，因此，表达式（1）不能作为加速度的最终结果．应将（1）中的m设法消去，考虑振动的最高位置C，由牛顿第二定律，mg－Fh＝ma2，解得

由（1）、（2）式利用a1＝a2＝a，消去m，解得

以上根据振动模型求解最大加速度的过程比常规解法要简洁、自然，振动的最高点和最低点加速度大小相等且取最大值，这是振动模型的基本结论，然后，只要考虑最高点和最低点加速度大小相等，应用牛顿第二定律即可解答，常规解法中应用动能定理求F0的环节要求则很高．

4 抽象的分子作用力模型的还原

图9

例5．（2016年上海高考卷第32题）如图9，长度L＝0．8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量Q＝1．8×10－7C；一质量m＝0．02kg，带电荷量为q的小球B套在杆上．将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系．点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图10中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图10中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0．16≤x≤0．20和x≥0．40范围可近似看作直线．求：（静电力常量k＝9×109N·m2／C2）

（1）在合电场中，x＝0．4m与x＝0．6m之间的电势差U；

（2）已知小球在x＝0．2m处获得v＝0．4m／s的初速度时，最远可以运动到x＝0．4m．若小球在x＝0．16m处受到方向向右，大小为0．04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？

解析：本题中小球B的受力情形的设置比较新颖，共有两个变力作用，一是A球给B球的静电排斥力，服从库仑定律；二是规律没有直接明确的非匀强电场的水平方向的电场力，给出了两个力的合力在x的不同区间呈现的复杂规律．其实，这道题的作用力情景是由我们考生熟悉的分子作用力模型抽象而来．

图11

我们将模型来还原一下．如图11所示为中学物理教材［1］给出的分子力与分子间距离的关系，两个分子间既存在相互排斥力F1，又存在相互吸引力F2，引力和斥力同时存在，实际对外的表现是他们的合力．两种作用力都随着距离的增大而减小，斥力的图线较陡，即斥力随着距离的变化比引力更快．当r＜r0时，F1＞F2，合力表现为斥力；当r＝r0时，F1＝F2，合力为0；当r＞r0时，F1＜F2，合力表现为引力．

我们还可以进一步研究分子力做功与分子能量变化的情况，例如，两个分子原来距离很近，在逐渐分开到很远的过程中，分子力先做正功后做负功，分子动能先增大后减小，分子势能先减小后增大．关于分子力做功，可以根据F－r图像围成的面积进行计算．

在本道高考题中，将分子力的两个区间作了理想化：即将图10中的AB段视为倾斜直线，CD段视为水平线，考查的主要角度是功能关系，具体求解过程并不困难，此处不再展开．

5 实际电磁感应模型的抽象

例6．（2016年天津高考卷第12题）电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图12所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ．一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动，铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ，为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g．

（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；

（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；

模型分析：本题中有两个研究对象，一是沿斜面匀速下滑的磁铁，二是固定在斜面上的两根实心的铝条．对于磁铁的匀速运动，重力沿斜面方向的分力与磁场力（安培力）平衡，很简单．

图12

关于磁场力的产生和进一步讨论涉及的模型的构建非常困难．

图13

其实，经抽象后的模型如课本［2］的典型习题：设图13中的磁感应强度B＝1T，平行导轨宽l＝1m，金属棒ab以1m／s速度贴着导轨向左运动，R＝1Ω，其他电阻不计，求通过R的电流．

图14

在本道高考题中，与ab棒对应的如图14中的柱体a1a2a3a4－b1b2b3b4（以下简称柱体），此柱体为铝条与磁铁正对的部分，由题给的信息，磁铁端面正对铝条区域的磁场视为匀强磁场，其他部分磁场及电阻均忽略，柱体与磁铁发生相对运动，切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，E＝Bdv，此处v为柱体相对于磁铁的速度，柱体的电阻（电源内阻），本问题情景设置中，铝条的其他部分为外电路，充当连接的作用，且不计电阻，即R＝0．闭合电路中的电流为，柱体受到的安培力为F＝BId．

对磁铁，由平衡条件有mgsinθ－2F′＝0，式中F′为F的反作用力，由牛顿第三定律，F′＝F，式中的2是考虑到磁铁有两个端面．

解以上各式可得

物理模型构建的教学和训练，是培养学生科学思维的重要途径，因此在教学中必须高度重视．物理模型构建是贯穿整个物理课本的，在教学中要注意充分发挥物理模型构建对创新能力培养的功能．关于概念、规律建立的过程是：提出问题→建立模型→构建新理论→解决问题．传统的教学因受应试教育的影响，重点往往放在物理概念、规律基本条文的记忆和简单应用（解题）上，而对概念、规律的创立重视很不够．因此，我们应强化“提出问题”“建立模型”这两个环节的教学．物理学内容像一座座大厦，物理教材呈现在学生面前的是一幢幢建筑完好的大厦，对大厦本身的建筑过程留下的痕迹不深，这对培养学生的创新思维能力是极为不利的，我们教师在教学中很重要的一项任务就是要向学生介绍这些大厦是如何建筑起来的．通过提出问题让学生自己尝试建立模型寻找解决问题的途径和方法，变学生被动接受为主动地去研究、探索．如由开普勒行星运动三定律和牛顿第二定律去“发现”万有引力定律；由牛顿第二定律、第三定律去 “发现”动量守恒定律；通过研究电磁感应现象实验去“发现”产生感应电流的条件和关于感应电流方向判断的规律．这样的探索、研究既能培养学生的创新能力，也能培养学生的创新意识和创新自信心，这对学生今后进一步从事物理（科学）知识的学习、研究、创新是极为重要的基础，可以相信通过这样的教学，培养出来的学生将来一定能自己去构建新的物理学（科学）大厦．

1 张大昌等．普通高中课程标准实验教科书《物理》选修3－3［M］．北京：人民教育出版社，2010．

2 张大昌等．普通高中课程标准实验教科书《物理》选修3－1［M］．北京：人民教育出版社，2010．

2016－09－26）