初中数学几何语言入门教学探索

戚黎明

摘 要：初中数学平面几何教学不是对小学阶段内容的简单复习，而是同类知识的螺旋上升，其要求与小学明显不同.在初中平面几何的入门教学过程中应重视对几何语言的培养，尽管学生正确使用几何语言需要一个较长的过程，但是在一开始就应该对学生提出要求，这对今后学习几何证明非常重要.

关键词：几何语言；图形；性质；证明；变换

初一平面几何入门教学难是一个公认的事实，但实际上根据新课程标准的规定，对于初中一年级的几何教学，只要求进行直线、角、相交线、平行线、三角形和全等三角形的教学.这部分内容是初中平面几何中最简单的基础知识.然而，在现实的教学活动中，正是这些最简单、最基本的教学内容，构成了初一几何教与学的难点.初一几何的这种教与学的矛盾是怎样形成的？笔者认为主要是学生对几何语言的陌生造成的.其实任何一门新学科都入门于它的基本语言教学，教师要想把学生领进几何的大门，就必须先过语言关.既然是语言就应该遵循“先会说，后会写”的一般规律.本文就如何“说”几何语言，以及它在教学过程中所起的作用通过案例加以说明，与大家共同探讨.

一、学习基本图形的性质需要“说”

浙教版（以下同）七年级上第六章《图形的初步知识》是初中平面几何的入门章节，几何语言此时就如同一门外语，学生连最基本的词汇和习惯用法都不清楚，又怎么能正确分析问题和解决问题？当然更不用说正确书写解题过程了.刚开始，笔者比较注重讲解，以为只要自己讲得够详细，思路够清晰，学生就一定能理解接受.事实证明学生的确能听懂，但就是不能独立解题.既然其他语言都是从说学起的，那么学习几何语言也可以尝试先“说”后写.首先，笔者采用“问题”导学的策略[1]，根据题目设置合理的提问，让学生在回答问题的过程中摸清解题思路；然后让学生代表口述解题过程，并通过集体復述的方式加以巩固；最后请学生代表板演上述解题过程.事实证明这个方法的确有效.

【课例1】中点性质的应用.

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图1

如图1，线段AB=8cm，C是线段AB上一点，AC=3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点，求线段MN的长.

师：线段的中点具有什么性质？

生：平分这条线段.

师：由M是线段AB的中点，我们可以得到什么结论？

生：AM与BM长度相等，并且等于AB的一半，即4cm.

师：由N是线段AC的中点，我们又可以得到什么结论？

生：AN与CN长度相等，并且等于AC的一半，即1.6cm.

师：我们所求的线段MN的长度与以上哪些线段的长度有关？

生：与线段AM和AN有关，线段MN的长度是线段AM与AN的长度之差.

师：根据上述分析，有哪位同学能叙述解答过程？

生甲：因为M是AB的中点，所以AM等于AB的一半，从而等于4cm.因为N是AC的中点，所以AN等于AC的一半，从而等于1.6cm.MN等于AM减去AN，因此线段MN的长度为2.4cm.

师：这位同学的叙述是否正确？

生：正确.

师：那么请同学们复述上述解答过程.

生：……

（如果复述的语言杂乱，则说明多数学生并没有理清解题思路，教师可以再加以引导，给学生充分的口头练习机会，直到复述整齐划一）

师：好的，最后请一位同学板演此解题过程.

（板演是为了展现学生的书写过程，我们的最终目的就是要让学生能正确地书写解答过程.从会说到会写有一个层次上的提高，教师应该注重规范学生的书写格式，要求学生正确书写各种几何符号，同时强调先因后果的书写顺序）

【小结】此课例的讲解，采用了师生问答的形式.既然已知条件中有“中点”出现，那么就从中点的性质入手.学生在回答问题的过程中自然而然地“说”出了解题思路，充分体现了学生的主体地位，增强了他们的学习自信心.集体复述避免了后进生掌握知识相对困难的尴尬，提供给了他们更多模仿练习的机会，让他们敢于开口，愿意开口，不失去学习几何的信心，这样就能够避免出现几何学习过程中常见的两极分化现象.板演这个环节至关重要，教师要让学生充分暴露书写过程中的问题，从而对症下药，帮助学生养成规范的书写习惯，为学生今后独立解题打下坚实的基础.

二、学习基础的证明过程需要“说”

七年级下第一章《三角形的初步知识》中将要学到判断三角形全等的条件，“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”等几何术语开始出现，简单的三个字就包含了判断三角形全等所需要的条件.学生很容易记住这些术语，但是要正确理解它们的含义，明确使用的条件就相对困难了.同时，“对应”这个词开始频繁出现，这就要求学生对图形有更高层次的认识，不仅要判断哪两个三角形全等，而且要清楚地知道哪些边（角）是对应的边（角）.学习之初，学生常常把图中的线段当成是三角形的边，把图形中出现的角当成是三角形的角，给寻找证明三角形全等的条件造成了障碍.同时，把“边边角”误认为是“边角边”，将“角边角”和“角角边”混为一谈也很常见.另外，证明三角形全等的书写格式也较为严格，处处要体现对应，步步要说明理由，因此先“说” 后写的教学思路在这里将进一步发挥作用.

【课例2】“边边边”证明三角形全等，从而说明对应角相等.

如图2，点A，D，B，E在同一直线上，且AC=DF，BC=EF，AD=BE.请说明∠C=∠F的理由.

师：如何说明两个角相等？

生：先说明他们所在的两个三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等就能说明.

师：∠C、∠F 分别属于哪两个三角形？

生：∠C属于△ABC ，∠F属于△DEF.

师：利用题目中的条件能否直接说明这两个三角形全等？

生甲：能，有三条边对应相等，利用“SSS”就可以证明全等.

（一开始很多学生都误认为“AC=DF，BC=EF，AD=BE”是三组对应边相等，从而直接用“SSS”证明全等）

生乙：我认为不能直接证明，因为AD与BE并不是三角形的边.

师：要弄清楚这个问题就要先弄清“S”的意思，它代表三角形的对应边，还是三角形中的对应线段？

生：是对应边，因为这个判断三角形全等的方法称为“边边边”.

师：非常好，这说明乙同学观察非常仔细，AD与BE并不是三角形的边，而只是三角形中的对应线段，因此不能直接使用.但是，能不能利用它们的相等关系推知这两个三角形的一组对应边相等呢？

生：能，由于A，D，B，E在同一直线上，所以AD+DB=BE+DB，即AB=DE.

师：现在似乎万事俱备了.下面请一位同学来叙述本题的证明过程，叙述时要注意以下三点：（1）利用间接条件证得边或角对应相等要先加以说明；（2）注意证明三角形全等的规范格式；（3）保证步步有理.

生丙：因为AD=BE（已知），所以AD+DB=BE+DB，即AB=DE.在△ABC与△DEF中AC=DF（已知），BC=EF（已知），AB=DE（已证），所以△ABC全等于△DEF（SSS），所以∠C=∠F（全等三角形对应角相等）.

师：很好，请大家复述上述证明过程，同时请一位同学板演.

……

【点评】本例题的讲解依然延续了师生问答的形式，学生在说证明思路的过程中暴露了对“边边边”理解的错误，引起了同学间的争议，教师抓住机会让学生区分了对应邊和对应线段，从而让学生对“边边边”有了更深刻的理解.“边边边”证明三角形全等的思路虽说最简单，但本节所规范的证明三角形全等的书写格式、“步步有理”的说理方式以及对“边”“角”“对应”等的理解都是后续学习的基础.

三、学习图形的变换方式需要“说”

初中阶段主要学习了图形变换的四种方式，其中轴对称变换、平移变换、旋转变换实际上都属于位置变换，即在变换的过程中只有图形的位置发生了改变，而图形的形状和大小都不会改变，对应角、对应线段自然也不会发生改变.这些共性很容易掌握，那么特性呢？大部分学生都能从直观上对它们加以区分，但是要完全掌握各种变换的定义、性质、作图及对一次特定变换做出准确的描述就很困难了.教学过程中要通过大量的口头练习，让学生抓住各种变换中所涉及的关键词句，然后在此基础上理解并掌握各种变换方式[2].

【课例3】怎样将图3中的甲图案变换成乙图案？

师：在甲图变换成乙图的过程中涉及了哪些变换方式？

生：平移和旋转.

师：咱们不妨先旋转再平移.旋转变换中的关键词是什么？

生：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

师：本题中这三个关键词具体是什么？

生：旋转中心是点A，旋转方向是逆时针，旋转角度是40°.

师：那么请一位同学来描述这次旋转变换.

生甲：甲图绕着点A，朝着逆时针的方向，旋转40°.

师：下面我们来描述平移，平移的关键词又是什么？

生：方向和距离.

师：本题中这两个关键词具体又是什么？

生：射线AB的方向，线段AB的长度.

师：应该如何描述？

生：甲图朝着射线AB的方向，移动线段AB的长度.

师：现在请一位同学用“先……，再……”的语句描述整个变换过程.

生乙：乙图是甲图先绕着点A，朝着逆时针的方向，旋转40°，再朝着射线AB的方向，移动线段AB的长度得到的.

师：请同学们复述.

……

【点评】本题看似简单，大部分学生都能认识到从甲图到乙图需经过旋转和平移这两种变换，但想要具体、准确地描述变换过程就很困难了.教师通过精简定义，先让学生掌握这两种变换方式中的关键词，然后再根据题目将其具体化，从而准确地把握住了变换的特征，使得描述思路清晰，语言准确具体.

总而言之，平面几何有许多特有的用来表达意思、交流推理论证思想的语言工具，如：平行、相交、垂直、互余、互补、全等于、相似于、平移、轴对称、旋转等；特殊的符号：≌、∽、⊥、∥、∠、∵、∴、Rt、△等；还有“边边边”“边角边”“斜边、直角边”等术语.每一个习题的解答都要用它们来描述，从而成为一篇具有独特语言的文章.文章固然靠写，但是语言却是以说为主的，只有能独立地说出来，才能独立地写出来.实验心理学家赫瑞特拉认为：人一般可以记住阅读内容的50%，自己听到内容的20%，自己看到内容的30%，在交流过程中自己所说内容的70%[3].足以见得“说”在几何入门教学过程中的重要性，因此学习几何语言要让学生多动口.教师在教学的过程中要给学生提供充分的口头练习机会，让学生在说的过程中体会到几何语言的独特性，感受到几何语言的严谨美，树立起学好平面几何的信心.

参考文献：

[1]陈爱苾.课程改革与问题解决教学[M].北京：首都师范大学出版社，2004：132.

[2]关文信，等.新课程理念与初中数学课堂教学实施[M].北京：首都师范大学出版社，2003：45.

[3]张绪培，等.初中数学教学案例专题研究[M].杭州：浙江大学出版社，2005：117.