从《射雕英雄传》到“比例线段之和为1”

胡素芬

[摘 要] 在初三数学教学中应该重视基本图形的教学. 应通过系统的基本图形教学，使学生有规律地把握几何基础知识，既培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，又培养学生的抽象思维、逻辑思维能力，并且培养学生的发散思维、创新思维能力，最终使学生形成严密的逻辑推理论证能力，为学生的终身学习和工作创造良好条件.

[关键词] 基础图形；比例线段；同类题型；归纳整理

平行线分线段成比例定理是初三平面几何的一个重要定理，它是研究相似图形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比. 把平行线分线段成比例定理应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础.

复习这部分内容时，学生经常觉得上课学习平行线分线段成比例定理内容很简单，但是做题时却需要灵活应用，很难；教师讲述平行线分线段成比例定理的内容很容易，但是试卷作业反馈效果却不尽如人意. 究其原因，不是学生不用功——“怎么教都教不会”，也不是教师的专业水平不过关——“自己都不会怎么教学生”，而是对于基础图形以及基础图形的组合和变式的研究与拓展不够重视.

看过电视剧《射雕英雄传》的都知道，剧中有“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五位武林高手，他们和平行线分线段成比例定理的教学也有某种联系呢！

“中神通”——王重阳

中神通王重阳——“中央为土”：原名“王喆”，这姓名的两个字皆为“土”形，“中央，色黄”：王重阳既为道教大师，而道士用黄冠束发，因此又被称作“黄冠”.

王重阳少年时曾大举义旗，与金兵对敌，但因不遗余力，动用数千人力，历时数年建成“活死人墓”，在其中暗藏器甲粮草，作为起事之根本. 由于将士伤亡殆尽，王重阳愤而出家，自称“活死人”. 后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳，二人化敌为友，携手同闯江湖.

林朝英对王重阳甚有情意，欲以身相许，但王重阳以国事为重，不谈私情， 两人本已化敌为友，后来却又因爱成仇，约在终南山比武决胜，斗了几千招，始终难分胜负.

最终，林朝英和王重阳打赌，石头上刻字，胜过王重阳，逼迫他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择，但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住，自己另在古墓不远处盖了全真观，出家为道士，那就是重阳宫. 而后道书读得多了，大彻大悟，乃苦心潜修，功成丹圆后，前往山东布教，建立全真教，先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子，后世称“全真七子”.

王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世，想起她一生对自己情痴，悲痛万分，于是悄悄从密道进墓，见到两间石室顶上她遗刻的《玉女心经》，招招克敌全真武功，后精研这《玉女心经》的破法，终未成功.

后来武林奇书《九阴真经》出现在江湖中，引起各路武林人士争夺. 华山论剑，力压四强，天下第一，王重阳因此夺得《九阴真经》. 他决意不练经中功夫，但为好奇心所驱使，禁不住翻阅一遍. 一经过目，思索上十余日，即已全盘豁然领悟，后回到活死人墓，在最隐秘处刻下《九阴真经》的要旨，并一一指出破除玉女心经之法.

王重阳旧疾复发，为了在死后留下一个克制“西毒”欧阳锋之人，求段智兴传他“一阳指”，以“先天功”作为交换，后来王重阳假装病死，以“一阳指”破掉了欧阳锋的蛤蟆功，使得欧阳锋退回西域，王重阳也在此之后逝去.

王重阳和洪七公都有义举，曾抗击金兵，以国家为重，所以在五大常数中只有0和1供选择，才有切实意义. 王重阳的武功第一，缘于研究《玉女心经》，夺得《九阴真经》后，自己禁不住翻阅，有违当初华山论剑不研习《九阴真经》功夫之嫌，虽然没传授“全真七子”相关功夫，但是世界还算相对公平，黄药师、洪七公、“一灯大师”都练过《九阴真经》或运用其疗伤来恢复功力，欧阳锋也逆练《九阴真经》，武功达到新高. 虽然在《射雕英雄传》中，王重阳已经故去，对他的描写只是残存在部分人的回忆中，但是《九阴真经》的江湖地位无人质疑.

在日常教学中，提倡教师和学生尊重教材、分析教材、研究教材、整合教材、使用教材，同时强调“用教材教而非教教材”. 上教版的教材应该是数学教学的基础和出发点. 以上海教育出版社出版的九年级第一学期数学书上第38页例题7为例，来体现这套教材不输于《九阴真经》重要的江湖地位.

从这道课本例题出发我们发现，本题的结论中得到线段的比例之和为1. 联想其他类似的简单练习，在烟波浩瀚的九年级数学几何题海中“线段比例之和为1”的问题仿佛是闪闪发光的明珠，不仅熠熠生辉，而且随处可见. 比较基础而又有代表性的三个模型如下.

这三个基础模型都是由非常基础的两个“A字型”组合而成的组合图形，这样的基础模型能够启发、巩固、重现“求比例之和为1”的结论，究其解题根源，无非寻求合适的“A字型”比例线段，利用中间比过渡求和.

“东邪”——黄药师

首先，这五大高手和五行有关，作者金庸在名字中都有暗示. “东为木”：黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”，其实不然，金庸使用的是繁体字，“药”字的正确写法是“藥”，一根巨木，赫然在下.

“正中带有七分邪，邪中带有三分正”的人物，是“桃花岛”的岛主，亦是桃花岛派武学创始人. “桃花影落飞神剑，碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照，武功造诣非凡，为金庸小说中武功绝顶的高手之一. 黄药师上通天文，下晓地理，五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画，甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓，无一不精.

近年来，作为人口导入大区，浦东的许多数学教育理念和做法都值得我们学习，接下来在2014年浦东二模卷第25题第（3）問中寻找“比例线段之和为1”.

2014年浦东新区二模考试结束，对于这道压轴题，有的学生爱它爱之深，有的学生恨它恨之切，正如世人对“桃花岛主”的落英神剑、玉箫剑法、玉漏催银剑和碧海潮生曲的复杂而纠结的情感一样. 如今翻出各种解法细细品味，陈题多解，回味无穷！

“西毒”——欧阳锋

“西毒”欧阳锋——“西为金”：“锋”赖“金”利. 作为音乐家的欧阳锋，常备乐器不是吉他，而是铁筝，仍是“金”制，“西，色白”；长居白驼山，他本人、侄儿、部属皆作白衣装.

作为射雕时代中的头号反派人物，只想武功天下第一，使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等，因逆练郭靖乱改的《九阴真经》，第二次华山论剑中夺得天下第一，却被黄蓉用计逼疯，跟自己的影子打斗，接着离开华山，而疯，后来与洪七公在华山比武. 洪七公之功由正转逆，欧阳锋则反，由逆转正，两人内力顿时合而为一，水乳交融，一人是在寒冷彻骨时，因对方内力传来而如沐春风，另一人是在全身炙热时，接受对方内力而顿感清凉，两人当下融为一幅“太极之图”. 就在此刻，洪七公一跃而起，抱住欧阳锋，说“咱俩殊途同归，最后变成哥俩好”. 欧阳锋霎时回光返照，心中一片澄明，与洪七公相拥大笑，两人在笑声中同时辞世.

在研究2015年徐汇一模试卷第22题的过程中看似跟“线段比例之和为1”无关，但是如果将此题进行变式和拓展，不难发现又回到了“线段比例之和为1”问题上来.

试题再现 如图9，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于点D，NB交AC于点E，连接DE.

（2）因为DE∥BC，DE=1，BC=3，所

完成这道题目之后进行反思，轻而易举地发现如果此题的图进行一些微小的变化，就能寻觅“比例之和为1”的倩影，尤其是模型2将反复出现，同侧三角形模型犹如江南水乡的撑伞姑娘，浑身散发着美丽和芬芳.

回顾变式和拓展过程，就像第二次华山论剑，风云变幻. 在完成最基本的任务后，教师引导学生进行进一步拓展、反思和小结. “线段比例之和为1”如蛤蟆功，又如灵蛇拳法：手臂犹似忽然没了骨头，在许多看似没有线段比例之和的问题中揭开问题的面纱也能发现线段比例之和為1的本质，犹如变了一根软鞭，打出后能在空中任意拐弯.

“南帝”——段智兴

“南帝”，真名段智兴，《天龙八部》中主角段誉的孙子，大理国的皇帝，后因故出家，法号“一灯”，出自《法华经》：以一灯传诸灯，终至万灯皆明. “南为火”：一灯大师之“灯”待“火”点燃. 其秘技为“一阳指”，而太阳是最大的一个火球，“南，色赤”：“灯”与“阳”皆作赤红色.

第一次华山论剑，“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五个人大战七天七夜，全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一，天下武林奇书《九阴真经》被王重阳夺得，其目的是避免天下武林大乱. 为防自己死后无人能阻欧阳锋，而在第一次华山论剑的第二年来到大理，用先天功交换了段智兴的“一阳指”，却不料，与王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染，并诞下私生子. 不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上漂”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子，瑛姑因而向段智兴求医，而段智兴本欲施救，待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通，因而醋意大发，加上他即将要参加华山论剑，而救人将消耗大量功力，犹豫之间，未救而致其死亡，后因心怀愧疚，万念俱灰之下段智兴出家为僧，法号“一灯”.

后来黄蓉身受重伤来到一灯住处寻求救治，一灯大师为黄蓉疗伤，因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤，后瑛姑来此寻仇. 郭靖假扮一灯挡住一刀后，瑛姑才觉悔意，后一灯出现，瑛姑则羞愧而远去，随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分，也借助《九阴真经》所载的疗养法门，终得复原功力.

嘉定宝山无论在教育上，还是在教学中都勤于探索，积极改革，让我们一起来欣赏2012年宝山一模第25题.

我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果坐标系中的两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.

试题再现 如图16，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M，N，若M，N在x轴、y轴上分别对应实数a，b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标.

（1）如图17，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2，2），并求点O，A之间的距离；

（2）如图18，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0），点C（0，3），P（x，y）是线段BC上任意一点，试求x，y之间一定满足的一个等量关系式；

（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其他条件不变，试判断上述x，y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由.

不难看出，在这道题的解答过程中，“线段比例之和为1”这个结论再现江湖，无论点P的位置在线段BC上还是在线段BC的延长线上都可以套用模型3，即三角形内部模型来解决.

“北丐”——洪七公

“北丐”洪七公，“北为水”：七公姓“洪”，果见洪水滔滔. “北，色黑”：书中不曾描写七公衣服颜色，但他作为丐帮老头子，估计不管衣服原色为何，上身之后，必将改造成唯一色调：总是黑.

洪七公为丐帮帮主，为人正义且机智，生性贪吃，曾经因贪吃误事，自断其右手食指，故也称“九指神丐”，无论黑白两道都十分敬重他. 在桃花岛，洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功，岛主吹箫，欧阳弹筝，洪七公没钱买乐器，只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状，实为艰苦朴素、廉洁自律之典范. 洪七公和蔼正义，具有一切正派人物所应具有的优点，一直率领丐帮抗击金兵，其独门武学为“打狗棒法”及“降龙十八掌”.

洪七公一生最大的敌人为“西毒”欧阳锋，曾被其暗算多次，几乎丧命. 晚年与欧阳锋于华山比武，两人打了四日，总之是打得神困力倦，几欲虚脱，斗过棍棒，休息了一下，两人接着又比拼内力，结果竟战到两个均已奄奄一息. 两人隔天又开始比起了纸上谈兵，比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法，杨过演给欧阳锋看，欧阳锋再思考破解的杖法，两人拆解了三天，到第三日，欧阳锋已破解“打狗棒法”的前三十五路，而“打狗棒法”的第三十六路“天下无狗”，这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白，似乎老了十多岁，这才将之破解. 后比试内功，耗尽功夫，欧阳锋恢复记忆，两人大笑，互相拥抱而逝.

丐帮为天下第一大帮，洪七公对外用“降龙十八掌”抗击金兵，对内用“打狗棒法”劫富济贫，为人善良，就是面对“老毒物”遇到危险差点被火烧，也冒着生命危险去救他，满满的正能量. 以同样2012年嘉定宝山二模卷第25题第（3）问为例，再现“比例之和为1”的精彩.

试题再现 如图21，在△ABC中，∠ACB=90°，点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB.

（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由.

（2）设PA=m，PC=n，试用m，n的代数式表示△ABC的周长和面积.

同一年份同一批学生面对一模和二模的数学试卷时，如果能够比较熟练地掌握“线段比例之和为1”的几个基本模型，不仅能够增加对压轴题的了解和研究，還能够在分析问题的时候披荆斩棘，能够在解决问题的时候所向披靡.

以上海教育出版社的教材为“中神通”，挖掘课本上的例题和习题的教学作用和价值，抽象概括出基本模型，配合四道各个区县的模拟考试题正如“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”四位武林高手华山论剑，刀光剑影中凸显“平行线分线段成比例定理”的教学价值和解题价值，辗转腾挪间强化“线段比例之和为1”在数学范围内的应用价值.

当然，初中竞赛当中毫无疑问各大杯赛是数学问题研究最具代表性的颜值担当，而“定倒数和问题”无疑是比较具有代表性的一类问题.

而这一类“定倒数和问题”通过添加平行线都能够转化成三类基本模型，根据符合模型的条件直接应用模型的结论就可以顺利解决问题. 就像“南帝”的“一阳指”，看上去并没有什么巨大威力，实际上一通则百达，掌握这一招，不仅能够夯实基本技能的把握和基础知识的巩固，而且可以冲出考纲在自招和竞赛中小试牛刀.

一个好的数学教学题材，能够凸显数学的重要基础地位，可以将数学知识迁移到其他学科；一个好的数学教学题材，会让我们的备课过程苦心经营，会让我们的数学课上得有声有色，会让学生听得津津有味；一个好的数学教学题材，会让教学效果事半功倍，会让数学教学研究工作散发勃勃生机.

在日常教学中，对同类型题的整理进行一定的归类整理，不需刻意过多，但是需要教师有一颗善于归纳整理的心，需要教师有一双寻找、发现的眼睛. 对于教材中出现的经典例题，归其类，识其形，析其法，究其因，终将能得其果. 以一个个知识点为背景连成一串知识点，用一道道有代表性的例题串成一组组题组，这无疑是促进学与教的一个有效、可行的途径. 这样既可以达到复习的效果，又可以提升解题能力.

正如《射雕英雄传》的主题曲所唱：

问世间是否此山最高，

或者另有高处比天高，

在世间自有山比此山更高……