定积分学习指南

古鹂　王建

概念学习，重在体会思想

此环节重在体会极限思想，了解概念形成、定理推导的过程. 定积分的核心思想是极限思想，受知识储备和理解能力的限制，我们不可能对它理解得很深刻，也几乎不可能用积分定义去求曲边图形的面积，也不太可能去掌握微积分基本定理的证明. 但是，我们可以去体会“以直代曲”“分割”的微元思想以及“无限趋近”的极限思想. 这些思想将是我们到大学进一步深造所必需的知识. 因此，我们可以在一个相对轻松的心态下，体会其深意.

定理学习，重在计算运用

虽说是了解概念，体会思想，但重点还是如何求定积分. 下面就几种基本题型总结一下方法和技巧.

1. 根据微积分基本定理求解定积分

点评 在求定积分时，要注意积分变量是谁，不能张冠李戴. 同学们在做第（2）问时常把它误当作第（1）问来做，这是要注意的.

点评 用微积分基本定理是求定積分的主要方法，我们要重点掌握. 这个方法的关键是要找出函数[f（x）]的原函数[F（x）]，找原函数时注意运用逆向思维. 同学们要把几种常见函数的原函数记住，见下表.

2. 根据几何意义求解定积分

例3 求定积分：（1）[011-x2dx]，（2）[-223-34x2dx.]

解析 （1）[011-x2dx]表示单位圆[x2+y2=1]在第一象限内的部分与[x]轴、[y]轴所围成的区域面积，也就是圆的四分之一，所以[011-x2dx]=[π4].

（2）[-223-34x2dx]=[32-224-x2dx]，

而[-224-x2dx]表示圆[x2+y2=4]在[x]轴上的上半部分，

所以[-223-34x2dx]=[32×12×4π]=[3π].（用此种方法还可以求椭圆的面积，同学们不妨试一试.）

点评 当被积函数的原函数不容易找到时，不妨审视一下它的几何意义，有时问题就能迎刃而解.

3. “变形”法解“三角函数”型定积分

例4 求定积分：[0π4cos2xdx].

解析 [0π4cos2xdx]=[0π41+cos2x2dx]

=[（x2+14sin2x）π40]=[π+28].

点评 当被积函数的原函数不容易找到，也没有明显的几何意义时，不妨将函数解析式变形成容易找出原函数的形式（主要针对被积函数为三角函数）.

4. 运用奇偶性求定积分

例5 求定积分：（1）[-22xdx]，（2）[-222x-12x+1dx].

解析 （1） [-22xdx=202xdx=2×（12x220）=4].

（2）因为函数[f（x）=2x-12x+1]为奇函数，

所以[-222x-12x+1dx]=0.

点评 当积分区间关于原点对称时，同学们不妨考虑一下被积函数的奇偶性，奇函数在区间[-a，a]上的积分为零，偶函数在区间[-a，a]上的积分为在区间[0，a]上的积分的两倍.

5. 用定积分求曲边图形的面积

例6 求由曲线[y=x]，[y=2-x]，[y=-13x]所围成的区域面积.

解析 画出图形（如下图）.