《函数的奇偶性》课堂实录

高昌胜+万忠国

中图分类号：G633.6

（展示图片：见附件）

师：（问题一）同学们能将下列图像进行分类吗？ （同学们开始讨论）

生：一类图像关于y轴成轴对称，另一类图像关于原点成中心对称

师：在数学中我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数；图像关于原点对称的函数叫奇

函数（从而自然的引入本节的课题-----函数的奇偶性。教师板书课题）

师：（问题二）有没有既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数图像？（学生思考）

（教师进一步提示） 我们已经学过了哪些函数？

（在教师的启发下，学生开始活跃起来，纷纷讨论起来）

师：同学们能列举出几个这样的函数吗

生：一次函数f（x）=x+4，二次函数f（x）=（x-2）2+2既不关于y轴对称又不关于原点对称

（教师在黑板上作出函数的图像让同学们观察）

师：这些函数是奇函数还是偶函数？

生：它们既不是奇函数也不是偶函数

师：（问题三）同学们能判断下列函数的奇偶性吗？。

（黑板上书写函数（1）f（x）=x4+2， （2） f（x）=x5+x3）

（学生经过一段时间的思考、讨论后再一次陷入了沉思，学生的心里充满困惑：这

两个函数的图像很难画出来，甚至根本画不出来，如果画不出函数的图像该怎么

判断？部分学生想到能不能不画出函数的图像，而判断出一个函数的奇偶性？）

师：，我们从函数的图像无法入手，为了解决这些问題，能不能从代数解析式的角度去

研究什么是奇函数、什么是偶函数？

（通过问题的设置，让学生明白究奇函数和偶函数定义的必要性，有效的激发了

学生探求新知的欲望，充分调动了学生参与思考的积极性和主动性）

师：结合偶函数f（x）=x2的解析式，怎样从“数”上观察特征。

（在教师的启发下学生通过列举自变量x的取值：-3、-2、-1、0、1、2、3，计算

得到f（x）的函数值9、4、1、0、1、4、9。发现规律：f（x）=f（-x），由此，学生进一

步猜想：对任意的自变量x是否都有f（x）=f（-x）成立？）

师：（问题四）如果函数y=f（x）的图像关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数。那

么如何从代数的角度定义偶函数呢？

（有了前面的铺垫，学生很容易地归纳得到了偶函数的定义：）

如果对于函数y=f（x）的定义域的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=（x）

是偶函数。

师：图五和图六有什么相同和不同呢？它们都是偶函数吗？

生：解析式相同，定义域不同，图像不同。图六是偶函数，图五不是偶函数。

师：（问题五）相同的函数一个是偶函数，一个不是偶函数，这是为什么呢？

生：因为定义域不同，不是关于不对称的，所以图像不是关于y轴对称的。

师：这个回答只是从图像观察得到，我们能不能从函数的定义中找到定义域为什么必须

关于原点对称。（学生又被难住了，不知怎样回答，让学生讨论）

生：在定义中要计算f（x）和f（-x），所以x和-x都必须在定义域内，即定义域必须关于原

点对称。

师：通过以上的分析，同学们知道判断函数偶性的前提条件是什么吗？

（学生齐声回答）

生：定义域关于原点对称。

师：二次函数f（x）=（x-2）2+2的定义域关于原点对称，为什么不是偶函数呢？

生：因为不满足f（-x）=f（x），所以不是偶函数。

师：同学们能总结出判断一个函数是不是偶函数的步骤呢？（让学生讨论）

生：第一步，看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的，则f（x）不是偶函数；

若是关于原点对称的，则进行第二步。

第二步，检验f（-x）与f（x）的关系。

若f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；

若f（-x）≠f（x），则函数f（x）不是偶函数。

师：同学们总结了判断函数是偶函数的步骤，下面我们看一个具体的例题。

（教师在黑板上展示例题：判断函数f（x）=x4+2在定义域为[-4，4]的区间上的奇偶性。）

（在教师和学生的共同讨论下，教师在黑板上展示判断过程。）

师：（问题六）同学们能用研究偶函数的方法类比研究下面两个问题吗？

1.奇函数的定义；2判断判断一个函数是奇函数的步骤。

（经过学生讨论，得到以下结论）

奇函数定义：如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），

那么称函数y=（x）是奇函数。

判断一个函数是奇函数的步骤：

第一步，看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的，则f（x）不是奇函数；

若是关于原点对称的，则进行第二步。

第二步，检验f（-x）与f（x）的关系。

若f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数；

若f（-x）≠f（x），则函数f（x）不是奇函数。

师：（问题七）通过前面的学习我们知道：函数有奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？（同学们又陷入沉思）

这个问题留给同学们课外思考好不好？ （学生齐声回答：好！）

师：本节课在同学们的积极参与下，我们通过讨论得出了奇函数、偶函数的定义以及判

断函数奇偶性的方法。感谢同学们的参与，谢谢。（本节课到此结束）