例析分离变量法在高中数学中的应用

郭小辉

分离变量法作为一种重要的数学思想方法.在近些年的高考数学试题中多有体现.纵观近几年高考数学试题，有关考查分离变量法的题型主要有：求函数零点问题；解决函数的单调性问题；解决不等式的恒成立问题；在导数中的应用等.

一、方法介绍

使用分离变量法是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.使用分离变量法解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x的范围，求a的范围：

定理1不等式f（x）≥g（a）恒成立f（x）min≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立f（x）max≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

定理2不等式f（x）≥g（a）存在解f（x）max≥g（a）（求解f（x）的最大值）；不等式f（x）≤g（a）存在解f（x）min≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

定理3方程f（x）=g（a）有解g（a）的范围=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

解决问题时需要注意：

（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；

（2）确定是求最大值、最小值还是值域.

二、典例分析

1.利用分离变量法解决函数的零点问题

例1已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围.

解析问题转化为2ax2+2x-3-a=0在x∈[-1，1]上恒有解

由定理得只需求函数g（x）=3-2x2x2-1在x∈[-1，-22）∪

（-22，22）∪（22，1]上的值域即可， ±22单独考虑.此法思维量较小，运算量较二次函数略大，得分率略有增加.2.利用分离变量法解决函数的单调性问题

例2已知函数f（x）=12ax2+2x（a≠0），g（x）=lnx.若h（x）=f（x）-g（x）存在单调递增区间，求a的取值范围.

解析问题转化为h′（x）=ax2+2x-1x≥0在x>0上有解，即ax2+2x-1≥0在x>0上有解.问题转化为a≥1-2xx2在x>0上有（存在）解 由定理1.2得a≥1-2xx2min.

由1-2xx2=（1x-1）2-1≥-1，所以a≥-1.

3.利用分离变量法解决不等式恒成立问题

例3設f（x）=lg1+2x+a·4x3，其中a∈R，如果x∈（-∞，1）时，f（x）恒有意义，求a的取值范围.

解析如果x∈（-∞，1）时，f（x）恒有意义

1+2x+a4x>0，对x∈（-∞，1）恒成立

a>-1+2x4x=-（2-x+2-2x），x∈（-∞，1）恒成立.

令t=2-x，g（t）=-（t+t2）

又x∈（-∞，1），则t∈（12，+∞）

∴a>g（t）对t∈（12，+∞）恒成立，

又∵g（t）在t∈（12，+∞）上为减函数，

g（t）

∴a≥-34.

4.利用分离变量法解决导数问题

例4已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1，设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.

解析若导函数在（2，3）内没有零点，则有以下两种情况：

（1）f ′（x）=3x2-6ax+3≥0在（2，3）内恒成立，即a≤x2+12x=12（x+1x）在（2，3）内恒成立.

易知当x∈（2，3）时，54<12（x+1x）<53，所以，此时有a≤54.

（2）f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）内恒成立，即a≥x2+12x=12（x+1x）在（2，3）内恒成立.

易知当x∈（2，3）时，54<12（x+1x）<53，所以，此时有a≥53.

所以，当f（x）在区间（2，3）中无极值点，即f ′（x）=3x2-6ax+3≥0或者f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）内恒成立时，有a≥53或者a≤54.

从而，当f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点时，a的取值范围是（54，53）.

点评这种解法中，把a分离出来以后，转化成了求a≤x2+12x=12（x+1x）或者a≥x2+12x=

12（x+1x）在（2，3）内恒成立的问题，也是学生熟悉的函数基本题型，与上一种解法比较，显得更为简捷，有效率.

（收稿日期：2016-10-12）