例析“洛必达法则”在高考数学中的应用

何长斌

纵观近些年来的高考数学试题，许多省份的高考数学压轴题都是与导数的应用有关的数学问题，这类问题的特点是难度较大、综合性较强，其中求解参数的取值范围是这一类问题考查的重点题型.对于此类问题，学生的传统做法是利用分离变量法来求解，但由于这种方法往往分类的情况比较多、过程过于繁杂，学生实际操作起来非常困难，许多学生很容易漏解.且有些题型利用分离变量法解决时，还会出现“00”“∞∞”型等函数值不存在的情况，而这是大学数学中的不定式问题，若此类问题采用洛必达法则进行解决，便会迅速破解.

一、洛必达法则介绍：

法则1若函数fx 和g（x）满足下列条件：

（1） limx→afx=0 及limx→agx=0；（2）在点a的去心

邻域内，fx与g（x）可导且g′（x）≠0；（3）limx→af ′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.

法则2若函数fx 和g（x）满足下列条件：（1）limx→∞fx=0 及limx→∞gx=0； （2）A>0，fx 和g（x）在-∞，A与A，+∞上可导，且g′（x）≠0；

（3）limx→∞f ′xg′x=l，那么 limx→∞fxgx=limx→∞f ′xg′x=l.

法则3若函数fx和g（x）满足下列条件：

（1） limx→afx=∞及limx→agx=∞；

（2）在点a的去心邻域内，fx与g（x）可导且g′（x）≠0；

（3）limx→af ′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.

二、洛必达法则在高考试题中的应用

1.（2010年全国新课标理）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）a=0时，f（x）=ex-1-x，f ′（x）=ex-1.

当x∈（-∞，0）时，f ′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加.

（Ⅱ）当x=0时，f（x）=0，对任意实数a，均有f（x）≥0；

当x>0时，f（x）≥0等价于a≤ex-x-1x2

令gx=ex-x-1x2（x>0），则g′（x）=xex-2ex+x+2x3，

令 hx=xex-2ex+x+2x>0，则h′x=

xex-ex+1，h″x=xex>0，

知h′x在0，+∞上为增函数，h′x>h′0=0；知hx在0，+∞上为增函数， hx>h0=0；

∴g′x>0，g（x）在0，+∞上为增函数.

由洛必达法则知，

limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12，

故a≤12

综上，知a的取值范围为-∞，12.

2.（2011年全国新课标理）已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果当x>0且x≠1时，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范围.

解析（Ⅰ）f ′（x）=a（x+1x-lnx）（x+1）2-bx2，由于直线x+2y-3=0的斜率为-12，且过点（1，1）.故f（1）=1f ′（1）=-12，解得a=1，b=1.

（Ⅱ）由题设可得，当x>0，x≠1时，k<2xlnx1-x2+1恒成立.

令g（x）= 2xlnx1-x2+1（x>0，x≠1），

则g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22，

再令hx=x2+1lnx-x2+1（x>0，x≠1），则h′x=2xlnx+1x-x，h″x=2lnx+1-1x2，易知h″x=2lnx+1-1x2在0，+∞上为增函数，且h″1=0；故当x∈（0，1）时，h″x<0，当x∈（1，+∞）时，h″x>0；

∴h′x在0，1上为减函数，在1，+∞上为增函数；

故h′x>h′1=0∴hx在0，+∞上为增函数

∵h1=0

∴当x∈（0，1）时，hx<0，

当x∈（1，+∞）时，hx>0

∴当x∈（0，1）时，g′x<0，

当x∈（1，+∞）时，g′x>0∴gx在0，1上为减函数，在1，+∞上为增函数

∵由洛必达法则知：

limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1

=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0

∴k≤0，即k的取值范围为（-∞，0＼].

3.（2010海南宁夏文21题）已知函数f（x）=

x（ex-1）-ax2.

（Ⅰ）若f（x）在x=-1時有极值，求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

解（Ⅰ）略

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥0，即x（ex-1）≥ax2.

①当x=0时，a∈R；

②当x>0时，x（ex-1）≥ax2等价于ex-1≥ax，也即a≤ex-1x.

记g（x）=ex-1x，x∈（0，+∞），则g'（x）=（x-1）ex+1x.

记h（x）=（x-1）ex+1，x∈（0，+∞），则h′（x）=xex>0，因此h（x）=（x-1）ex+1在（0，+∞）上单调递增，且h（x）>h（0）=0，所以g′（x）=h（x）x>0.

从而g（x）=ex-1x在（0，+∞）上单调递增.

由洛必达法则有

limx→0g（x）=limx→0ex-1x=limx→0ex1=1，

即当x→0时，g（x）→1.

所以g（x）>1，即有a≤1.

综上所述，当a≤1，x≥0时，f（x）≥0成立.

总之，纵观近年来全国各地高考试题，利用高等数学解决高考数学问题的题型屡见不鲜，当然此类问题也可用高中数学方法求解，但一般过程繁琐或技巧性较强，许多学生大都见而恐之.若学生能掌握一些有关高等数学的知识和方法，去解决这些问题，往往事半功倍.比如在学习导数知识后，笔者向学生讲解了洛必达法则，并介绍了洛必达法则适用的条件和具体用法，并通过一些简单的练习后，绝大部分学生都能利用洛必达法则处理部分简单繁琐的数学问题.

（收稿日期：2016-10-18）