五个函数的不等关系及其应用

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

五个函数的不等关系及其应用

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

一、五个函数的不等关系及其证明

函数y=x2-x,y=xlnx,y=x-1,y=lnx, y=1-在x＞0时存在这样的不等关系：x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,当且仅当x=1时取等号.其证明如下.

1.证明x-1≥lnx.

证明：令f(x)=x-1-lnx(x＞0),f′(x)=1-,令f′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)在(1,+∞)上单调递增;故f(x)的最小值为f(1)=0,即f(x)≥0.因此有x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号.

2.证明xlnx≥x-1.

证明：令f(x)=xlnx-x+1(x＞0),f′(x)=lnx,令f′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞ 0,f(x)在(1,+∞)上单调递增;故f(x)的最小值为f(1)=0,即f(x)≥0.因此有xlnx≥x-1,当且仅当x=1时取等号.

3.证明x2-x≥xlnx.

由x-1≥lnx,两边同时乘以x,得x2-x≥xlnx.当且仅当x=1时取等号.

4.证明lnx≥1-.

综合上述分析,有x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,当且仅当x=1时取等号.其图像如图1.从图像可以看到,直线y=x-1将它们隔开,是它们在x=1处的切线.

图1

二、应用

例1.求不等式x2(4x-3-6lnx)＞1的解集.

解析由已知有,即

令

即求f(x)＞f(1)的解集.

即f′(x)=x2-x-xlnx.由上述不等关系可知f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.因此不等式f(x)＞f(1)的解集即为{x|x＞1}.

评析由已知条件出发,经过一系列变形,构造出可导函数,结合不等关系x2-x≥xlnx判断导函数的正负,从而判断出原函数的单调性,进而借助单调性求出自变量取值范围.

例2. 函数f(x)=alnx-x+1.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求所有实数a的值.(3)证明：, n＞1,n∈N+.

解析(1)x＞0,f′(x)=.

若a≤0,则f′(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;

若a＞0,令f′(x)=0,得x=a.

当x∈(0,a)时,f′(x)＞0,f(x)在(0,a)上单调递增;

当x∈(a,+∞)时,f′(x)＜0,f(x)在(a,+∞)上单调递减;

综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a＞0时,f(x)的单调递减区间为(a,+∞),f(x)的单调递增区间为(0,a).

(2)由第(1)问可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(1)=0,故当x∈(0,1)时,f(x)＞0,与f(x)≤0矛盾.

当a＞0时,因为f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(a)=alna-a+1.由已知有alna-a+1≤0.令f(a)=alna-a+1,a＞0.由上述不等关系可知f(a)≥0.故f(a)=0,a=1.

(3)由第(2)问可知,f(x)=lnx-x+1≤ 0,即lnx≤x-1,x＞ 0,当且仅当x=1时取等号.要证即证2lnn＜n2-1,即证lnn2＜n2-1.其中n＞1,n∈N.令x=n2,x＞0,转化为证lnx＜x-1.由上述分析可知该不等式显然成立.故原不等式成立.

评析本题在对数函数y=lnx和一次函数y=x-1的基础上巧妙构造出新的函数f(x)=alnx-x+1,借助a的不确定性增加试题难度.第(2)步中令f(a)=alna-a+1,是以a为自变量的一个函数,等同于f(x)=xlnx-x+1,借助上述不等关系可得f(a)≥0,又题目告知f(a)≤0,故只能是f(a)=0,从而求出a=1.第(3)步借用第(2)步的结论可以得到lnx≤x-1,事实上,不借助第(2)步的结论,直接运用上述不等关系同样能够求解.另外,对于第(2)步,要求a的值,还可以采用分离变量转化为求新的函数的最值的方来做,在这过程中,借助不等关系lnx≥1-可迅速求解.

由alnx-x+1≤0,得alnx≤x-1.

若x=1,则a·0≤0,a∈R.

故a≥1.

分析ln(n+1)可以看成是正项数列{ln(n+1)-lnn},

例4.已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

分析以恒成立问题为载体求参数的取值范围,可以考虑采用分离变量转化为求函数最值的方法来做.

解析由已知有,当x≥1时x2lnx-a(x2-1)≥0恒成立.

当x=1时,该不等式成立,故a∈R.