构造熟悉函数再作图

广西桂林市田家炳中学(541004) 孔祥胜

构造熟悉函数再作图

广西桂林市田家炳中学(541004) 孔祥胜

我们知道函数有三种表示方式：列表、解析式和图象;函数图象是函数的直观表现,用图象法表示函数关系,可以从整体上直观形象地研究函数的变化情况.在研究方程根的个数或函数零点个数或函数中的参数范围时常常需要借助函数的图象来研究问题,但在作函数的图象时应先对函数的表达式作适当的变形、构造,尽量避免出现我们不熟悉的函数,否则就容易出现不应有的错误.下举三例说明.

例1已知方程kx=在[e-1,e]上有一个解,求k的取值范围.

错解设f(x)=,x∈ [e-1,e],则f′(x)=≥ 0,即 f(x)在 [e-1,e]上单调递增.问题转化为直线y=kx与函数 f(x)=在区间[e-1,e]上有一个交点,如图1知 A(e-1,-e),B(e,e-1),从而kOA≤k≤kOB,即-e2≤k≤e-2.

图1

错解分析函数f(x)=,是我们不熟悉的函数,上面虽然通过导数证明了它的单调性,但作图不够准确,从而引出错误.正确的作图如图2,当直线y=kx为函数f(x)的切线时,kOC=(2e)-1(求法略),则正确的答案应为-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1.

图2

图3

注也可分离参数而构造函数f(x)=,x∈[e-1,e]而解决问题,但构造的函数不是我们所熟悉的函数,利用其图象解题时容易出错,特别是把题目由“有一个解”改为“有两个解”时更容易出错.

另解由kx=,x∈[e-1,e]得kx2=lnx则如图3,过原点的抛物线y=kx2和函数y=lnx的图象关系分三种：①交于点A时,k1=-e2,②交于点B时, k2=e-2,③相切于点C(两者有公切线)时,由两切线与重合可解得k3=(2e)-1,则由图3直观地有原题解为-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1. ·ex是我们不熟悉的函数,虽然研究了它的导数但它的图象作错了,原因可能是受平时处理得较多的三次函数的图象影响,没有注意到在y轴左边,函数恒大于0.正确的函数图象如图5,因此答案是.

图4

图5

另解由

错解分析函数·ex=m得x2-x=me-x,如图6,在同一坐标系作出y=x2-x和y=me-x(其图象可由熟悉的y=mex图象关于y轴对称而得)的图象,显然当m≤0时不满足题意,当它们相切于点M(x0,me-x0)时有公切线(两条切线重合),即两直线

图6

例3(2013江苏理20改)求函数f(x)=lnx-ax,其中实数a≤ e-1的零点个数.

图7

解由f(x)=lnx-ax=0得 lnx=ax(注：原题函数是我们不熟悉的函数,虽然可以通过导数研究讨论它的单调性,但作出的图象不一定准确；若习惯分离常数得,则作图时同例1也容易出错).如图7,当y=ax与y=lnx相切时,易求a=e-1,由图7直观地有当a≤0或a=e-1时,函数有一个零点；当0＜a＜e-1时,函数有两个零点.

从上三例可看出,利用函数的图象解题时,要避免用不熟悉函数的图象,而尽量构造出我们熟悉的基本初等函数,容易作出其较准确的图象.另外含参数的两曲线相切时往往是它们关系的临界状态,这时它们的公切线方程(两切线重合,斜率和截距均相等)应是我们破解题目的利器.