由“平面铺陈”到“立体延展”———《立体图形体积计算复习》教学片断与说明

顾　健　程茂山（特级教师）

【教学内容】

苏教版六年级下册第92页。

【教学过程】

复习课是帮助学生将知识串点成线、构建体系、融会贯通、发展思维的重要课型。通过复习，如何让学生在旧知基础上实现经验再造？如何让学生在建立了良好网状知识结构前提下实现平面知识的立体延展？我们进行了探索。

一、前测诊断，自主梳理

题目一：用画图或填表的方式整理立体图形体积计算公式。

附表：

立体图形名称　体积计算公式长方体V=正方体圆柱圆锥

师：通过整理，你发现这些图形的体积计算公式有什么异同点？

题目二：你会计算这两个图形的体积吗？请用图示或文字进行说明。

图1　

图2　

【片断1】

1.回顾基础知识。

师：在小学阶段，我们认识了哪些立体图形？

生：长方体、正方体、圆柱和圆锥。

师：这些立体图形的体积计算公式怎么表示？

2.回顾体积计算公式推导过程。

师：在课前整理时，我们重点回顾一下立体图形的体积计算方法。（揭示课题）

呈现要求：

（1）在小组内交流各自整理的内容。

（2）互相说一说不同图形体积计算公式的推导过程。

师：请派一名小组代表说一说各个图形体积计算公式的推演过程。

（教师根据学生的描述用动画直观演示）

生：长方体的体积公式是通过拼、摆1cm3的小正方体得到的。先数长上摆几个，再数宽上摆几个，最后数高上摆几个，三个数据相乘的积就是长方体的体积。

师：计算长方体的体积可以转化成体积单位的个数直接计量而来，那么正方体呢？

生：正方体体积公式由长方体体积公式推导而来，因为正方体是特殊的长方体。

生：计算圆柱的体积是通过割补法将圆柱体转化为近似的长方体。

师：数学上把这种转化称为“等积变形”。圆锥的体积计算公式呢？

生：先将水注满圆锥体容器，然后倒入等底等高的圆柱体容器内，正好三次倒满。

师：这也是转化，我们发现圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一。

师：根据这样的理解，请用箭头表示出图形之间体积计算的关系。

【说明：依据前测，第一题86%的学生都能画示意图或借助表格写出各立体图形相应的体积计算公式，也能归纳出长方体、正方体和圆柱体三个图形都可以用“底面积×高”进行计算。而第二题仅有18%的学生能给出初步的解决方案，说明六年级的学生还处于直观思维阶段，对于五棱柱、三棱锥只有散点、孤立的认识，缺乏运用合情推理去解释立体图形性质之间的关系。教师在这一教学片断中，安排了三个层次。首先，通过课前自主整理、回忆提炼、旧知重现，让学生对立体图形的体积计算公式形成记忆表象。然后，在学生独立整理基础上，组内交流互为补充并由代表向全班汇报。教师结合学生的描述同时借助媒体的直观演示，使学生对立体图形计算公式之间的推导过程与转化思想（演绎、拼摆、实验）有了更明晰的认识。最后，将自主整理过程中不完善的知识脉络，在比较与纵横联系中不断完善，并用符号架构有效地认知结构，内化为个人知识网络。】

二、重构知识，构建网络

【片断2】

师：圆柱与圆锥两个立体图形与平面图形有关吗？

生：有，圆柱可以通过长方形旋转得到的，圆锥可以通过直角三角形旋转形成。

动态演示：

师：圆柱还可以看成是什么平面图形通过怎样的运动形成的？

生：圆形平移形成的。

师：是这样吗？（动态演示）最初的圆形就是圆柱的底面，垂直向上平移的距离是圆柱体的高。长方体和正方体可以用运动的观点解释吗？

动态演示：

生：长方形垂直平移形成长方体，正方形垂直平移形成正方体。

师：有了这样的共同特征，它们的体积都可以怎么表示？

生：都可以用“底面积×高”表示。

生：长方体、正方体还可以看作左（右）侧面向右（左）平移得到。

师：你很善于联想。这种平移方法在计算长方体的体积时，左侧面相当于长方体的底面，水平移动的距离相当于长方体的高。

师：那么，圆锥可以看作平移得到吗？

动态演示：

师:看了这样的变化，你想到了什么？

生：圆锥也可以看作底面的圆形垂直向上平移，圆越来越小最后变成了一个点。

师：有了这样的认识，我们就可以解决一些看似复杂的问题。比如，六年级上册的一道思考题。

教材六年级上册第15页：你能根据正方体的体积来估计右边物体的体积吗？

师：如果想知道这个物体的体积，需要知道哪些条件？

生：只需要知道“L形”的底面面积和高。

师：这个图形可以看作“L形”平面图形垂直平移形成的立体图形。运用这个方法可以解决生活中的实际问题，如蓄水池与横截面，如图所示：水池的长为2千米，如果这个水池蓄满水，一共蓄水多少立方米？

【说明：教师引导学生从图形观察的“静态视角”转向“运动视角”，勾连“二维平面图形”与“三维立体图形”间的关系，这些立体图形都可以看作底面垂直平移形成。此时，学生在大脑中建构了“平面图形”与“立体图形”清晰的转化过程，从根源上理解了这些立体图形的体积计算都与“底面积、高”相关。有一位学生更是举一反三的指出：长方体可以通过侧面的长方形水平运动而得到。教师在读懂学生的直觉迁移逻辑后，将侧面平移与底面平移两种情况进行分析、比较，使学生对体积计算方法有了更灵活的理解，从整体上对体积计算方法有了本质把握。最后，教师联系上册教材与生活实际，让学生利用平移的观点解决问题。从解题过程来看，学生在变化的图形中找到了不变的规律，它们都是由某一个平面图形平移形成。这时，学生头脑中零散的知识逐渐被同化，对“形”与“体”辩证的认识进一步明晰。】

三、合情推理，提升思维

【片断3】

师：你还能举几个平面图形通过平移形成立体图形的例子吗？

生：底面是五边形、六边形的图形。

师：是这样吗？（课件演示：五边形、六边形垂直平移形成的五棱柱、六棱柱）像这样的立体图形在数学上称之为——直柱体。

师：随着底面边数的不断增加，越来越接近什么图形？

生：圆柱。

师：它们的体积怎么计算？

生：都可以用“底面积×高”来计算。

师：那么，底面圆形通过垂直平移并不断缩小形成圆锥。类似这样的图形，还能找出几个吗？

生：底面可以是三角形、四边形……

师：数学上称这些图形为——锥体。你能猜测下它们的体积计算公式吗？

师：理由是？

生：圆锥是等底等高圆柱体积的三分之一。

师：这是合理的推测，锥体体积确实是相对应的等底等高直柱体体积的三分之一，课后可以通过实验或查阅相关资料进行验证。

【说明：学生通过对“面→体”的直观演示，以原有长方体、正方体和圆柱体积计算的经验为基础，进一步体悟用“V=Sh”计算直柱体体积的合理性。同时，由圆锥体积公式的推导过程进行联想和合情推理，一步步地逼近锥体体积的计算方法。这一螺旋上升的认识过程，不仅仅是知识的延展，更是对立体图形体积计算方法的知识结构的完善。上述片断中，教师还利用课件演示了底面正多边形“有限条数”直至“无穷”，最后收敛到极限的图形是圆柱和圆锥。在这过程中，教师向学生适时渗透“化曲为直”的极限思想。此时，学生已经打破思维禁锢，跳出有限的几何观念，形成无限的几何观念，对锥体、直柱体有了序列化的判断，进一步拓宽了数学空间观念。】

四、拓展应用，内化关联

【片断4】

师：我国古代劳动人民早在2000多年前，就会计算不同形状物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，这种算法与现在的算法一致，但略有区别，你能找到吗？

生：古人是把π看作近似值3。

师：不得不佩服古人的智慧！老师在翻阅《九章算术》时，还看到一类图形的计算方法——“方自乘，以高乘之，即积尺”，你能猜出它是计算哪种图形的体积吗？

生：可能是长方体。

师：能具体说一说吗？

生:“方自乘”就是长乘宽，可以计算底面是长方形或正方形的面积，“以高乘之”就是乘以高。

师：对！借助这样的经验，我们还可以探索古人对圆锥体积的计算方法。

【说明：数学史是前人知识与思想的积淀。课堂中适度渗透有利于学生对数学概念、方法的理解。在课末，教师摒弃数学符号的简单复制，不是将数学史作为课堂的简单附加，而是将古人对圆柱体积的计算方法与现在的计算方法进行对比，让学生在重构过程中感受数学思维的“一脉相承”。并以此为起点，为学生探究圆锥体积提供了方向。】