关于Pell方程x2-18y2=1与y2-Pz2=16公解的研究

赵 建 红

(丽江师范高等专科学校数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)

关于Pell方程x2-18y2=1与y2-Pz2=16公解的研究

赵 建 红

(丽江师范高等专科学校数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)

目的 Pell方程的公解是数论中的一个重要问题。设P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数，关于Pell方程组x2-18y2=1与y2-Pz2=16的整数解的初等解法至今仍未解决。方法 主要利用同余的性质、Pell方程解的性质和递归序列等方法。结果 得出Pell方程组x2-18y2=1与y2-Pz2=16仅当D=2×577时有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)。结论 推进了该类Pell方程组整数解的研究。

Pell方程；公解；整数解；同余；递归序列

Pell方程

x2-D1y2=m(D1∈Z+,m∈Z)与y2-D2z2=m(D2∈Z+,m∈Z)

(1)

是一类重要的方程，其公解问题一直受到数论爱好者的关注。目前主要结论集中在m=1，n=1及m=1，n=4，具体详见文献[1～8]。

m=1,n=16时Pell方程(1)成为：

x2-D1y2=1与y2-D2z2=16

(2)

关于Pell方程(2)的公解的情况，目前无相关结果。本文主要讨论D1=5，D2为偶数时Pell方程(2)的公解的情况,

即方程

x2-18y2=1 与y2-D2z2=16

(3)

公解的情况。

1 关键性引理

引理2[10]当a>0且是一个平方数时，方程ax4-by2=1至多只有一组正整数解。

引理3[11]若D是一个非平方的正整数，则方程x2-Dy4=1至多有1组正整数解(x,y)，而且方程恰有2组正整数解的充要条件是D=1785或D=28560或2x0和y0都是平方数，这里的(x0,y0)是方程x2-Dy2=1的基本解。

证明 设(xn,yn),n∈Z是Pell方程x2-18y2=1的整数解，若xn=a2，代入方程x2-18y2=1得a4-18y2=1。由引理1知，方程a4-18y2=1仅有平凡解(a,y)=(±1，0)，此时xn=1，从而n=0；反之，显然。

2 定理及证明

定理 设P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数，

则Pell方程

x2-18y2=1与y2-Pz2=16

(4)

当D=2×577时有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)和平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)；当D≠2×577时仅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

即

(5)

由(4)式得

Pz2=ym+1ym-1

(6)

设(x1,y1)为Pell方程x2-18y2=1的基本解，则有(x1,y1)=(17,4)，故Pell方程x2-18y2=1的全部整数解为：

容易验证以下性质成立：

(Ⅰ)xn≡1(mod2)，x2n≡±1(mod17) ，x2n+1≡0(mod17)；

(Ⅱ)y2n+1≡4(mod)，y2n≡0(mod17),y2n+1≡±4(mod17)；

(Ⅲ)gcd(xn,yn)=1，gcd(xn,xn+1)=1,gcd(yn,yn+1)=4；

(Ⅳ)gcd(x2n,y2n+1)=gcd(x2n+2,y2n+1)=1，gcd(x2n+1,y2n)=gcd(x2n+1,y2n+2)=17；

(Ⅴ)xn+2=34xn+1-xn,x0=1,x1=17；yn+2=34yn+1-yn,y0=0,y1=4。

情形1m为偶数

则(6)式为

(7)

(7)式右边为平方数的奇数倍。又P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数，则(7)式左边为平方数的偶数倍，显然矛盾，故(7)式不成立，此时Pell方程(4)无公解。

情形2m为奇数

令m=2k+1，K∈Z则(7)式为

Pz2=y2ky2(k+1)

(8)

由y2k=2xkyk，y2(k+1)=2xk+1yk+1知，

(8)式可化为

Pz2=4xk+1yk+1xkyk

(9)

情形2.1k为偶数

令k=2l，l∈Z,此时(9)式为

Pz2=4x2l+1y2l+1x2ly2l

(10)

由y2l=2xlyl知，(10)式可化为

Pz2=8x2l+1y2l+1x2lxlyl

(11)

即

(12)

l=1时，由(Ⅴ)式知，(11)式为Pz2=8x1x2x3y1y3=8×4×17×577×4620×19601=27×5×7×11×172×577×1153，则P=2×3×5×7×11×577×1153，z=8×17，与“P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数”相矛盾，故此时方程(11)无整数解，因此Pell方程(4)无公解。

情形2.2 为奇数

仿情形2.1的证明可知此情形Pell方程(4)仅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

综上所述，定理得证。

[1]Ljunggren W.Littom Simultane Pellske Ligninger[J].Norsk Mat Tidsskr,1941,(23):132-138.

[2]胡永忠,韩清.也谈不定方程组x2-2y2=1与y2-Dz2=4[J].华中师范大学学报：自然科学版,2002,36(01)：17-19.

[3]管训贵.关于Pell方程x2-2y2=1与y2-Dz2=4的公解[J].华中师范大学学报：自然科学版,2012,46(03)：267-269+278.

[4]贺腊荣,张淑静,袁进.关于不定方程组x2-6y2=1，y2-Dz2=4[J].云南民族大学学报：自然科学版，2012,21(01)：57-58.

[5]杜先存,管训贵,杨慧章．关于不定方程组x2-6y2=1与y2-Dz2=4的公解[J]．华中师范大学学报:自然科学版，2014，48(03)：5-8.

[6]杜先存,李玉龙．关于不定方程x2-6y2=1与y2-Dz2=4的公解[J]．安徽大学学报：自然科学版,2015,39(06)：19-22.

[7]过静，杜先存．关于不定方程x2-12y2=1与y2-Dz2=4的解[J]．数学的实践与认识，2015,45(09)：289-293.

[8]过静,杜先存．关于Pell方程x2-30y2=1与y2-Dz2=4的公解[J]．数学的实践与认识，2015,45(01)：309-314.

[9]朱卫三．x4-Dy2=1有解的充要条件[J]．数学学报，1998，28(05)：681-683．

[10]乐茂华.一类二元四次不定方程[J].云南师范大学学报：自然科学版，2010,30(01)：12-17.

[11]Walsh G．A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equationsx2-kxy2+y4=1 orx2-kxy2+y4=4 [J]．Arch Math,1999,73(2)：501-514．

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

Common Solution to Pell Equationsx2-18y2=1 andy2-Pz2=16

ZHAO Jian-hong

(Department of Mathematics and Computer Science,Lijiang Teachers College,Lijiang,Yunnan 330013,China)

Objective The common solution to Pell equations is a very important problem of Number theory.LetP=2p1…ps(1≤s≤4)，whereps(1≤s≤4) are distinct odd primes,the common solution to Pell equations ofx2-18y2=1 andy2-Pz2=16 still remains unresolved.Methods Congruence,some properties of the solutions to Pell equation and recursive sequence were used.Result The Pell equations in the title have two nontrival common solutions only whenD=2×577.Conclusion These results promote the study of the kind of Pell equations.

Pell equation;common solution;integer solution;congruence;recursive sequence

云南省教育厅科研基金项目(2014Y462)；红河学院校级课题(XJ15Y22)

赵建红(1981-)，男，云南巍山人，副教授，硕士，研究方向：数学教育及数论。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.001

来稿日期：2016.06.20