概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析

陈利艳，陈秀琴，李钧涛

(1.安阳幼儿师范高等专科学校,河南 安阳 456150;2.信阳职业技术学院数学与计算机科学学院,河南 信阳 464000; 3.河南师范大学数学与信息科学学院,河南 新乡 453007)

概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析

陈利艳1，陈秀琴2，李钧涛3

(1.安阳幼儿师范高等专科学校,河南 安阳 456150;2.信阳职业技术学院数学与计算机科学学院,河南 信阳 464000; 3.河南师范大学数学与信息科学学院,河南 新乡 453007)

目的 分析概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度。方法 在实际的可靠性问题分析当中，灵敏度的准确分析对参数的分布有着非常重要的影响；提出概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析法，是一种通过在变量空间下，以确定性低偏差均匀抽样，然后与相应的样本点处联合，进而实现概率密度函数构造权重的分析方法；与密度权重分析方法做对比，密度函数权重法可以有效提高对可靠性灵敏度的评估准确率，具有较快的收敛速度。结果 概率密度函数构造权重具有极强的可靠性灵敏度，在实际应用中其使用优势主要表现在计算步骤简单、分析结果准确性高、各个变量之间的误差较小、计算效率变得更高、计算结果的精度高等方面，并且收敛性和稳健性都比较好。基于密度函数权重可靠性灵敏度分析方法，避免了原有的分析方法存在的不足，通过自身的优越性，有效提升了分析的准确性和计算效率。结论 概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析方法在实际应用中具有较强的适用性。

概率密度函数;权重;可靠性灵敏度

1 分析方法概述

针对可靠性问题的分析，已经应用于可靠性灵敏度估计的方法中，较为基础的是MCS法，这一方法可以较为精准的计算出相应的可靠性灵敏度，应用的范围较为广泛[1-7]，可以对各种经过不同解析方法计算得出的结果进行准确性的校核，或者是极限状态方程中，使用复杂的解析方法不能完成的或者得出结果不够准确的情况下，进行可靠性灵敏度的分析。虽然MSC法具有上述的多处优点，但也存在一定的缺点，就是抽样效率低、部分工作量无法被工程接受[1]。以MSC法为基础，相继出现了许多方法[2,3]，一是重要抽样法，通过重要抽样法密度函数，提高样本落入失效域的概率，同时提高抽样效率，还具有计算方差较小的优点；重要抽样法存在的不足在于一些构造复杂、难度较大的工程建造放慢，难以设定出重要抽样密度函数；二是子集模拟法，将中间失效事件引入进来，用一系列较大的条件失效概率的面积来表达小失效概率，用MCMC模拟的条件样本点来对较大的条件失效概率进行估计，较为明显的优点是，表现出较高的高维小失效概率；但使用MCMC模拟参数分布，最终的选取效果会影响可靠性的分析结果的准确性，并且与条件样本具有一定的相关性，降低了子集模拟的精确度；三是线抽样法，比MCS法更具准确性，在计算过程中可以很好的解决高维小失效概率的可靠性问题，但存在的缺点是线抽样方法与最优方向偏离较大，影响计算效率；四是方向抽样法，通过降低变量空间的维度来提高可靠性分析效率。

虽然现在具备了多种可靠性的分析方法，通过上述的分析，可以了解到，每一种分析方法都存在不同程度的缺点，没有一个较为全面且效率极高的分析方法，因此学者专家在长期的研究过程中不断尝试创新了多种方法后，提出了一种更为有效的可靠性灵敏度测试方法——基于密度权重的分析方法，通过对各变量区间的选取，再此基础上进行确定性偏差均匀抽样，密度权重法经过多次试验、改良得来，所以比之前的多种分析方法都具有更高的准确性和有效性，在分析的样本生成过程中，随机变量与其的关联性并不大；经过一定步骤的分析之后，可以得到相应变量的可靠性灵敏度估计值[2]。

概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析方法，减少了随机变量与样本生成之间的关联性，在小失效概率的问题上，相应的计算结果准确率有了很大提高，减少了分析过程中所需要使用的样本，且分析结果的准确性和收敛性也有较为明显的改善。

2 基于密度权重的可靠性分析

课题研究中，基于密度权重的可靠性分析，需要设定随机变量的数值，设定x为变量，x=[x1,x2,…xn]T，还需要设定随机变量的功能函数为g(x)，在已设定函数值的基础上，可以求出具体的失效域为F=(x:g(x)≤0)。除了定义随机变量函数和相应的功能函数，还需要设定x的联合概率密度函数为fX(x)，然后套用随机变量的变量等式，第k个变量xk的边缘概率密度函数为fXK(xK)(k=1,2,…,n)。以此为计算基础，基本变量的联合概率密度函数在失效域中的积分等式：

(1)

(2)

在式(1)的计算过程中，可以选用不同的方法来分析，然而由于方法存在的优劣势不同，相应的分析过程、计算工作量都会有所不同。采用MCS法，计算的工作量就是比较大的，因为MCS法在计算的过程中采用了伪随机序列抽样，因而出现了计算效率低下的现象，并且其计算的误差阶基本为O(N-1/2)，对计算的效率有较大的影响；而且当计算要求精度有所提高时，比如增加一位数的计算精度，则相当于MCS法的计算工作量增加了近百倍，非常不利于可靠性灵敏度的分析。

如果在计算时，改变原来使用伪随机数列样本的方式，而采用确定性低偏差样本，相应的计算误差会有所减少，即O(N-1(lgN)n-1)，等式中的变量表示意义不变，n表示问题变量的维数，N为抽样样本点数。低偏差样本点提升了随机数的均匀性，使其原有的偶然性有了明显的减少，相应的抽样点质量也有了较大的提升，同时提高可靠性灵敏度的计算效率。

在可靠性的分析中，选择合适区间后对其进行低偏差抽样抽取N组样本，并根据相应的等式进行下一步的估算：

(3)

式(3)为式(2)的估算式，也就是说在式(2)基础上延伸得出的式(3)，可以有效保证分析的结果收敛于准确解；并且式(3)就是基于密度权重的可靠性分析方法，其中分母求和为抽样样本点的权重之和，当相应的样本点较少的时候，可以很容易得出与准确解接近的近似解。将先前文献中曾使用的随机均匀抽样，加以改善，转变为确定性的低偏差均匀抽样，提高计算效率。

3 基于密度权重的可靠性灵敏度分析

与失效概率的求解步骤比较接近，根据现有的条件、数据和公式，基于密度权重的可靠性灵敏度的计算公式推导过程如下：

首先对变量进行相应的赋值和定义，可靠性灵敏度定义为失效概率Pf对基本随机变量的分布参数θxk的偏导数。在此基础上，将失效概率的积分式对参数求导，相应的可靠性灵敏度：

(4)

从上文公式(3)的推导印证了这样一条规律：密度权重与失效概率和灵敏度的贡献程度成正比例状态。公式(4)也可以得到这样一种转化：

(5)

其中定义权重对分布参数的灵敏度：

(6)

上文公式(6)中:W为变量 x 的权重，当随机变量为相互独立的正态变量时，

由于各个变量区间的情况不同，在生成N组低偏差均匀样本后，利用式(7)来估算式(5)的可靠性灵敏度，式(7)：

(7)

在上述多个等式中，选用式(7)作为最终计算方法，主要是因为其可以避免如式(3)在计算过程中会出现较大的误差，因而影响最终的可靠性灵敏度判断，式(7)最大的优势在于减少误差，使可靠性灵敏度的分析结果更为准确。

由此可以得出，基于密度权重的可靠性灵敏度分析方法的计算步骤有3个，分别为选择合适的变量区间；根据区间进行确定向低偏差均匀抽取，得到一定数量的样本；在抽取样本的基础上进行可靠性灵敏度的估值分析和计算[3]。

第一步骤为选择合适的变量区间，这一环节常用的方法有两种：一是通过变量的边缘密度函数等式来选取区间，主要使用的是数字模拟法进行所需数量的样本抽取，在此基础上，分析找出所抽取样本的2个极值，最大值和最小值，并将其设定为区间的上下界；二是根据变量的分布函数来求出区间。其次在进行低偏差样本抽取步骤中，不管变量是以哪一种规律分布的，都要进行确定性的低偏差均匀抽取，得到N组样本。最后在抽取所得样本的基础上，代入公式求出各变量的灵敏度值。

4 结 论

针对可靠性灵敏度的多种分析方法进行分析和阐述，与密度权重分析方法做对比，基于密度函数权重可靠性灵敏度分析方法求解有多种优点：计算步骤简单、分析结果准确性高、各个变量之间的误差较小、计算效率变得更高、计算结果精度高，并且收敛性和稳健性都比较好。基于密度函数权重可靠性灵敏度分析方法，避免了原有分析方法存在的不足。通过自身的优越性，有效提升了分析的准确性和计算效率；通过多方面、深层次的分析与研究，认为概率密度函数构造权重的可靠性灵敏度分析方法在实际应用中具有较强的适用性。

[1]吕召燕,吕震宙,李贵杰,等.基于密度权重的可靠性灵敏度分析方法[J].航空学报，2014,(01):179-186.

[2]袁修开.结构可靠性与可靠性灵敏度分析的数字模拟方法研究[D].西安：西北工业大学,2007.

[3]杨杰.结构可靠度计算方法及灵敏度分析研究[D].大连：大连理工大学,2012.

[4]张义民，张旭方，黄贤振.多失效模式机械零部件可靠性稳健设计[J].中国机械工程，2009,20(02):142-149.

[5]吕震宙，宋述芳，李洪双,等.结构机构可靠性及可靠性灵敏度分析[M].北京：科学出版社.2009.

[6]梁亮,黄卓，郭波.考虑时间不确定性的研制过程评估与优化方法[J].机械工程学报，2008，44(06)：248-252.

[7]张义民.机械可靠性设计的内涵与递进[J].机械工程学报,2010,46(14):167-180.

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

Reliable Sensitivity Analysis on Structure Weight of Probability Density Function

CHEN Li-yan1,CHEN Xiu-qin2,LI Jun-tao3

(1.Anyang Preschool Education College,Anyang,Henan 456150,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Xinyang Vocational and Technical College,Xinyang,Henan 464000,China; 3.College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang,Henan 453007,China)

Objective To analyze the reliable sensitivity on the structure weight of probability density function.Methods Among the analysis of the actual problems,the accurate sensitivity analysis has important impact on the distribution of the parameters.After a long period of deep research,a method with good reliable sensitivity analysis of the weighted probability density function is put forward.The method is helpful to realize the probability structure weight of density function on the uniform sampling with deterministic low deviation and the corresponding sample points under variable space.It can improve the accuracy of reliable sensitivity evaluation effectively and have a much faster convergence speed than that of the existed methods.Results The structure weight of probability density function has strong reliable sensitivity.Its advantages in the practical application mainly lie in simple calculation procedure,high accuracy analysis results,less error among different variability,making higher computational efficiency and higher calculation accuracy.And it has more convergence and robustness.It avoids the deficiency existing in the original analysis method and improves the analysis accuracy and computational efficiency through its superiority.Conclusion The reliable sensitivity analysis on the structure weight of probability density function has strong applicability in reality.

probability density function;weight;reliable sensitivity

国家自然科学基金项目(61203293)；河南省重点科技攻关计划项目(122102210131)

陈利艳(1980-),女,河南安阳人,硕士,讲师,主要从事教学和概率论方面的研究。

O 415.5

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.002

来稿日期：2016.05.20