美国CPMP教材中隐匿的数学知识观

胡晋宾+刘洪璐

【摘要】数学知识观是人们对数学知识的总体认识和基本观点，它大致可以划分为本质观、价值观和获得观3个维度.以此分析美国CPMP教材发现，其中隐匿的数学知识观是：淡化演绎，注重开放；凸显应用，关切现实；课题驱动，强调互动.这启示我们：一方面，教材编写应该高度重视数学知识观的渗透和引领；另一方面，教师应该多加领悟教材中隐匿的数学知识观去开展教学实践.

【关键词】数学知识观；数学教材；美国CPMP教材

1研究缘起

众所周知，知识是课程设置与编制的基础.而知识观是从人们长期的知识生成和累积过程中形成的关于知识问题的总体认识和基本观点，它往往潜藏着对知识本质、表征、价值、标准、范式、有效性的假设与信念 [1].具体到数学知识观，不同的数学知识观会直接导致课程改革与教材编写的不同路径选择，进而对学生学习和教师教学导致迥然结局.一方面，以往的教材研究多从中外教材对比和编写特色介绍等角度切入；另一方面，当前高中数学课标正在修订之中，相应的数学课标教材即将进行大幅度修改并面临重新送审.为此，我们借鉴知识观这副理论“眼镜”来考察隐匿在美国CPMP教材中的数学知识观，并期望抛砖引玉地引起对教材编写和使用中数学知识观问题的高度重视.

2数学知识观框架

为了研究的方便，我们把数学知识观划分为如下3个维度：

2.1数学知识本质观

数学知识本质观回答的问题有：数学知识本质是什么？它是开放的，还是封闭的？数学知识是外在的客观规律，还是内在的价值信念？数学知识是各自孤立的，还是相互辩证的？数学知识是一种人为的工具，还是一种为人的文化？数学知识是一种经验的总结，还是一种逻辑的演绎？数学是先验的，还是经验的？等等.数学知识本质观是对数学知识的本质理解，这是最为核心的内容，它是数学知识观的逻辑起点.

2.2数学知识价值观

数学知识价值观主要回答以下问题：数学知识具有什么样的价值？（比如欧内斯特所说的实用主义的目的、人本主义的目的和数学的目的，或者说在日常生活和工作、工程技术以及科学研究方面的价值）什么数学知识最有价值？不同数学知识的价值怎样取舍？它们又该怎样平衡和妥协？等等.数学知识价值观既是对数学教育价值目标的权衡理解，也是对数学教育目的的思考总结.

2.3数学知识获得观

数学知识获得观主要回答以下问题：数学知识获得是借助他人传授的，还是自我建构的？是通过实践经验归纳的，还是抽象逻辑演绎的？数学知识的发展需要参与还是旁观，需要主動还是被动？数学知识学习需要具有情境，还是不要情境？数学知识学习是一种机械学习还是一种意义学习？数学知识获得是需要自主学习，还是合作学习？等等.数学知识获得观是对数学学与教的一种具体观念.

3美国CPMP教材中隐匿的数学知识观

“核心-强化数学方案”（英文Core-plus Mathematics Project，以下简称“CPMP”）教材是以美国西密执安大学为研究基地，参照美国《学校数学课程与评价标准》和NCTM《数学教学专业标准》进行编写设计的一套教材.“核心-强化”的初衷和理念是：“把许多重要且有应用价值的数学传授给尽量多的学生”.该套教材被美国教育部评为新编课程的范例，受到数学教育界的普遍关注.接下来，我们以该套教材的第2版[2]为例来加以分析.（教材共有4本，由课程1～课程4组成，课程4是微积分初步）

3.1从知识本质观来看：淡化演绎，注重开放

相对于传统的数学教材而言，在CPMP里面，看不到精确的概念、确凿的定理、严谨的证明、规范的示例，它给学生提供的不是一个高度认同的、成熟定型的、冷峻客观的数学知识体系.从教材编写来看，数学知识不是神秘的，也不是先验的，而是来自于对生活中实际问题的提炼，最后又回归到对实际问题的解决之中.在这里面，数学知识不是演绎和传授的，而是归纳和发现的.知识不是干瘪的，而是鲜活的.知识不是自成一体的封闭体系，而是活力十足的开放平台.在CPMP中，数学知识是有具体意义和丰富背景的，总是和生活中的案例联系在一起，而不是脱离实际的、抽象的纯粹知识.CPMP教材每本都有8个单元，每个单元（unit）设计一个主题，这个单元再细分为2-3个课时（lesson）.对于数学的具体门类知识如代数、几何、三角、统计、概率等，依赖于主题素材背后的数学模型和思想方法，在每个年级都有可能出现.比较而言，我们看不到类似我国教材那样的标示鲜明的定义公式，长篇大论的形式推导.

3.2从知识价值观来看：凸显应用，关切现实

对数学知识应用的凸显和强调，对社会现实问题的聚焦和关切，成为该套教材的最大特色和价值取向.CPMP对于信息技术（图形计算器和计算机软件等）的大量使用，促进学生对于口头、文字、图象和符号的多种表征切换，减少对运算技能的要求.在他们看来，学生学习数学知识，重要的即是要让他们会用这些知识解决实际问题.CPMP编写时，将情境在时间（过去-现在-将来等）、空间（民族间-地球村-宇宙内等）、领域（科技-文化-生活-娱乐等）等视点落脚，让读者身临其境地觉得，数学教材人文气息浓郁，思维视角开阔，知识效用巨大.比如，有道计算概率的问题，情境就是1912年泰坦尼克号游轮沉没后的遇难人数和性别比例，并配有当时的泰坦尼克号游轮照片.又如，在第1册第8单元中（第551面），内容是关于概率模型的，设计的问题却是关于中国的人口问题.在一张中国三口之家合力挖掘山芋的彩色图片之上，导言写道：“在有些国家（地区），妻子习惯嫁到丈夫的家庭中一起生活.结果夫妻双方假若只生女儿，女儿出嫁后他们就没有子嗣来养老.……中国采取了独生子女政策来限制人口过度增长，但是这些政策在养儿防老的农村不受欢迎.现在请你考虑以下问题：众所周知，文化传统的习惯和人口基数的庞大经常导致社会问题的积重难返.但是概率可以帮助理解不同政策的相应后果.①假如国家规定一对夫妇只生一胎，那么这个孩子是男孩的可能性有多大？是女孩的可能性是多大？你回答这个问题的前提假设是什么？②如果中国的父母贯彻独生子女政策，那么你认为中国人口会增加、减少还是保持不变？为什么？③设想中国政府可能会采用的控制人口增长的几个政策计划，每个计划均需回答以下问题：第一，该政策下，生儿子的可能性多大？第二，该政策下，中国人口是增加、减少还是保持不变？第三，该政策下，中国人口的结果是男多于女还是女多于男？第四，该政策下，每个家庭的平均子女可能是多少？”

3.3从知识获得观来看：课题驱动，强调互动

相对说来，我们国家的教材采用的是知识驱动的架构思路，沿着核心知识展开具体的内容.即便设计情境，也是“形式为内容服务”，蜻蜓点水式的一带而过，很快又会回归数学知识本身.而CPMP采用的是课题驱动的方法，来整合代数、几何、统计与概率、离散数学等内容，借助大量的课题和问题来提供给学生分析和抽象、探索和理解数学知识的机会.精心选择的课题是相关知识的交汇点，它作为诸多数学知识的表现载体，成为教材编写的外在躯壳.在呈现内容时，教材采用的方式是互动的、丰富的，对话是多向的.CPMP设计了大量的数学问题和习题，在许多地方，提倡学生学习的自主性，在教学和评估之中，要求通过小组加上独立的方式，让学生进行探索、猜想、验证、应用、评价、讨论、分享，促进数学思维的发展和数学问题的解决.在每一个数学模型概括环节，要求学生准备和全班同学分享自己的总结心得（be prepared to share your thinking with the whole class）.因此，传统数学教材的面貌在这里得以颠覆，CPMP如同数学思维实验的素材手册，数学问题探究的操作指南.

以第1册第1单元“变化中的模式”为例，课程设计主要目的是为了发展学生的以下数学能力：认识和描述相关变量的重要模式，使用表格、图形、文字、符号表示关系，运用推理和计算工具来回答问题和解决疑难.该单元划分为以下3课：原因和结果，随着时间变化，研究变化模型的工具.第1课时“原因和结果”的具体内容呈现流程如下.（其他课时流程大致相同）①呈现具体情境，是极限体育中的蹦极跳，考虑蹦极者体重和绳长的关系.②活动研究设计，模拟蹦极运动的绳长设计，研究绳子定价和顾客购买的关系.③数学模型概括，从上述实例中抽象出一次函数依赖关系（线性函数）.④检验数学理解，设计相关问题，评价读者对前述内容的理解.⑤活动研究设计，考虑概率中的机会把握，在慈善捐款游戲中的投入和收益.⑥数学模型概括，从上述实例中抽象出离散函数依赖关系（间断性）.⑦检验数学理解，设计相关问题，评价读者对前述内容的理解.⑧活动研究设计，考察汽车赛事中的速度和时间之间的函数关系（非线性）.⑨检验数学理解，设计相关问题，评价读者对前述内容的理解.⑩自己独立作业，划分为应用（applications）、联系（connections）、反思（reflectiongs）、拓展（extensions）、复习（review）板块.（本课时题量分别是8，5，4，3，8）其中，“应用”的目的是提供应用所学知识的机会，“联系”的目的是帮助将刚学知识和以前所学知识建立联系，“反思”是帮助反思所学内容，“拓展”是帮助探究相对深刻一些的数学知识，“复习”是为了帮助评价所学知识，熟练数学技巧.

4总结及反思

4.1分析总结

综上所述，美国CPMP教材有如下特点：淡化了欧氏几何的演绎内容和体系，把数学各个分支进行了综合而不是分科，强调了问题情境，注重了数学的实际应用，倡导了学生主体和探究、合作、讨论等学习方式，等等.在数学知识本质观方面，淡化演绎，注重开放；在数学知识价值观方面，凸显应用，关切现实；在数学知识获得观方面，课题驱动，强调互动.

4.2编写反思

从理论上来说，数学知识观和教材编写策略之间，存在着相互作用的辩证关系.一方面，课程和教材体现出明显的价值观念，反映出不同的数学知识观取向，师生数学知识观受到课程设计及教材编写的明显影响；另一方面，数学知识观也会影响课程的设计和教材的编写，课程的设计和教材的编写总是在一定的数学知识观的指导和影响下进行的.为此，在当前的课程标准修订和教材重新送审，以及数学课程改革纵深推进的背景下，反思美国CPMP教材中隐匿的数学知识观，我们认为尤其需要注意的是：一方面，尤其需要引起教材作者的高度关注的是，作为数学知识观传播最佳载体的数学教材，它的编写责无旁贷地需要肩负起相应动态而辩证的数学知识观引领职责，从而在数学教育实践中去转变那些静态的、片面的、机械的和功利的数学知识观；另一方面，教师应该多加领悟数学教材中渗透的数学知识观，并将这些价值观念润物细无声地贯彻在数学课程实施之中，从而帮助学生在习得数学知识、提升数学能力、训练数学思维的同时，形成辩证而动态的数学知识观.

参考文献

[1]潘洪建.知识本质：内在、开放、动态——新知识观的思考[J].教育理论与实践，2003（2）：1-6.

[2]Christian R. Hirsch，et al.Core-plus Mathematics Project Contemporary Mathematics in Context（Student Edition）[M].New York∶The McGraw-Hill Companies，2008.