高中数学核心素养之建模能力的培养

彭慧

[摘 要] 建模活动是一项创造性的思维活动. 在建模活动过程中，能有效地培养学生独立、自觉运用所学理论知识，探索解决问题的最优策略. 在构建模型、解决实际问题的数学活动中，使学生的基础知识、基本技能训练得到加强，运算能力、逻辑思维能力、空间观念等能力得到提高，应用数学的意识得到逐步增强.

[关键词] 数学；建模能力；培养

《全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出大力弘扬中华民族优秀传统，要把核心价值观融入教育过程中，着力推进关键领域和主要环节改革，制订学生发展核心素养体系和学科核心素养体系. 提出数学六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析，同时贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念. 本文就数学建模能力的培养提出几点建议供参考.

■对数学建模的理解

对数学建模简单的理解就是利用所学知识，通过建立数学模型来解决生活中的实际问题. 数学建模的过程就是对生活问题的抽象、解决的过程. 通过抽象建立能近似地刻画并“解决”生活问题的一种强有力的数学手段. 通过运用数学思维去观察、分析和表示各种事物关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的模型，进而实现利用数学模型去解决实际问题的目的.

■构建建模意识

对于学生建模能力的培养可从如下几个方面展开：①对周围的事物要耐心观察、勇于探索；②要善于提出问题、分析问题、解决问题；③要善于联想，理论联系实际.

建模活动是一项创造性的思维活动. 它既具有一定的理论性，又具有较大的实践性；既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性. 在建模活动过程中，能有效地培养学生独立、自觉运用所学理论知识，探索解决问题的最优策略.

■建模案例分析

数学来源于生活，日常生活为我们提供了丰富的数学素材.

案例1：我经常看到校园草坪上喷灌系统对草坪进行喷灌作业，草坪的形状有许多种，而每种形状的草坪所采用的喷头布置方式似乎都有所不同，那么不同的喷头布置方式适合何种形状的草坪？

1. 问题的分析

喷头的布置方式应当首先保证草坪的所有区域被喷头喷灌区域覆盖，在此基础上使水的利用率尽量提高. 草坪所有区域全部被覆盖是该研究的基础，而使水的利用率最高是该研究的核心问题. 排除其他因素的影响，要达到水的利用率最高应当使喷灌总面积减去草坪面积的差最小.

2. 建立模型

对草坪喷灌喷头布置方式是否适合草坪提出两个评判标准：①保证草坪所有区域处在喷头喷灌区域之内；②“喷灌总面积（S1）-草坪面积（S2）”的差最小，即S1-S2最小.

方案1：如图1所示，边长为4a的正方形分布了四个喷灌喷头，每个喷头的射程为■a.

方案2：如图2所示，边长为4a的正方形每条边中点各设置一个喷灌喷头，每个喷头射程为2a.

方案3：选取三角形设计方案，如图3所示，设正三角形的边长为a，如图所示放置喷灌喷头，每个喷头射程为■■a.

通过计算发现，全圆喷洒和扇形喷洒同等适用于正方形草坪，全圆喷洒比扇形喷洒更适用于正三角形草坪. 因此全圆喷洒和扇形喷洒所适用的草坪形状不同，选择喷洒方式时应按照实际情况具体选择.

案例2：生活中有些我们认为理所当然的问题，利用我们所学的知识经过深入探究之后发现原来的认识是错误的. 这种现象屡见不鲜，比如我们家里的冰箱上都标有固定的耗电量，那么冰箱的耗电量是否真的固定不变呢？它与存放东西的多少有没有关系？为了证明这个命题可选择实验器材，通过实验数据来说明问题.

1. 问题分析

电冰箱由箱体、制冷系统、控制系统和附件构成. 在制冷系统中，主要组成有压缩机、冷凝器、蒸发器和毛细管节流器四部分，自成一个封闭的循环系统. 其中蒸发器安装在电冰箱内部的上方，其他部件安装在电冰箱的背面. 系统里充灌了一种叫“氟利昂12（CCl2F2，国际符号R12）”的物质作为制冷剂. R12在蒸发器里由低压液体汽化为气体，吸收冰箱内的热量，使箱内温度降低. 变成气态的R12被压缩机吸入，靠压缩机做功把它压缩成高温高压的气体，再排入冷凝器，在冷凝器中R12不断向周围空间放热，逐步凝结成液体. 这些高压液体必须流经毛细管，节流降压才能缓慢流入蒸发器，维持在蒸发器里继续不断地汽化，吸热降温. 就这样，冰箱利用电能做功，借助制冷剂R12的物态变化，把箱内蒸发器周围的热量搬送到箱后冷凝器里去放出，如此周而复始不断地循环，以达到制冷的目的.

当我们放进食物以后，由于食物温度高于箱内温度，所以引发制冷系统工作，耗电量会增加；当温度达到预定温度时，制冷系统停止工作. 因此，放入冰箱内食物越多肯定耗电量会越大.

但是，当箱内物体达到饱和时，由于食物之间的缝隙狭小，空气流通性比较差，会造成压缩机持续工作时间长，从而耗电量陡增.

如果箱内食物太少，当我们打开冰箱门时，箱外热空气会马上进入箱内，使箱内温度上升，引发制冷系统工作，同样也会造成耗电量增加. 所以，在0到100%之间应该有一个最省电的存放量.

2. 建立模型

选择某品牌冰箱（耗电量0.54千瓦时/24小时，冷藏室容积119升，冷冻室容积104升）、水银温度计、自来水、电能表等.

每次放入冰箱不同容积的水，设定相同的冷藏或冷冻温度，让冰箱持续工作一天，测量耗电量的多少. 通过比较耗电量的多少，得出结论.

冰箱存放量不论多少都比能效标识上的能耗高，原因可能是标识上的数据为理想状态下的数据，也可能是因为冰箱使用年限长，制冷系统老化造成耗电量增加，还有可能是因为同时放入大量的高温食物，制冷系统需要长时间工作造成耗电量增加.

冰箱的耗电量随着存放量的增加而逐渐增加，当存放量低于80%的时候，耗电量增加速度较慢；当超过80%的时候，耗电量增加速度较快. 原因可能是，水的体积变大，冷冻过程时间较长，并且箱内空气流通性差，造成热量循环不畅，使制冷系统长时间工作，最终造成耗电量增加.

综上，透过纷杂的表面现象找出变量之间的关系，大多实际问题都可以通过建模加以解决. 建模在表达问题的本质方面具有最突出的作用，可將实验的无序状态转化成明确的数学问题. 在构建模型，解决实际问题的数学活动中，我们的基础知识、基本技能的训练都可以得到加强，运算能力、逻辑思维能力、空间观念等三大能力得到提高，应用数学的意识得到逐步增强.