数形结合思想在二次函数问题中的应用

江苏省射阳外国语学校 夏明亮

数形结合思想在二次函数问题中的应用

江苏省射阳外国语学校 夏明亮

二次函数作为初中数学的重要知识点，是每年中考的必考点。由于二次函数易与其他知识点相融合，经常会以压轴题的形式出现，因此也是学生比较犯难的一类题目。利用数形结合思想，将“数”与“形”巧妙结合在一起，可以将繁琐、抽象的函数问题变得简单化、直观化，从而帮助学生更高效、准确地解决好函数问题。

数形结合；图像；二次函数

解决函数问题如果单从代数的角度出发，往往会引起计算复杂、理解难等问题，而采用数形结合思想，画出其函数图像可以将抽象的数学问题更加直观地展示出来，这样不仅可以极大程度地简化计算，也促进学生更好地分析题目。本文将通过一些实例，探析数形结合思想在二次函数问题中的应用。

一、二次函数基础问题中的数形结合

求二次函数中的参数是二次函数基础问题中常见的一种题型。解答该问题时，如果采用解出带参数的根的方法进行解答，往往会使解题过程比较复杂。因此，我们可以画出二次函数的图像，然后通过分析图像并结合题干所给出的条件列式计算。

解析：本题看似简单，由题干中的条件“有两个交点”，可想到运用即可解题，但是这样解答就掉进了命题人的陷阱中了，因为题干中还有一个重要的条件：“在原点两边”，因此用该方法解答出的答案是错误的。通过观察式子，发现参数是位于常数区域，即与y轴的交点，可以想到根据题干条件画出其图像。由图1我们可以发现当时，就满足了题目的条件了，从而解得故本题选择A。

图1

点拨：此题也可以利用求根公式将两根求出，然后联立不等式组解出答案，但是这样计算量较大。而通过画出满足题目条件的函数图像，即可很简单地将问题解决，不仅可以保证解题的准确性，也提高了解题的效率。

二、二次函数应用题中的数形结合

二次函数的应用题，其在中考中考查的频率较高。该类题型常设置的问题一般包括二次函数的表达式、求最值等，解决该类问题的关键是从图像出发，根据函数图像求出表达式，从而求出最值。

例2 如图2所示，判断一个高为2.8m，宽为2.4m的矩形能否穿过拱门？

解析：由题意可知，要想判断是否能穿过，就是判断宽为2.4m时其高是否超过2.8m。此时不妨建立如图3所示的坐标系，此时可得，此时就可以得到函数表达式当宽为2.4m时，即点F的横坐标分别为,将其带入函数表达式，即可得出，，从而得出，因此物体可通过。

图2

图3

点拨：解决此类问题就是要利用数形结合的思想，建立合适的直角坐标系,从函数图像入手，求出函数表达式即可解决问题。其中,在建立坐标系时需要注意的是尽量建立比较简单的坐标系，这样对应的二次函数也比较简单，有助于高效解题。

三、二次函数综合运用中的数形结合

二次函数的综合运用涉及的知识点较复杂，其中包括二次函数、平面几何等知识,因此，此类问题的综合性较强，难度系数也比较高。解答此类问题需要充分利用图形，灵活运用各部分的知识点。

图4

点拨：此题是以二次函数为载体，其解题的关键在于利用二次函数的性质和相似三角形的性质。由于此类问题一般都是压轴题，在解题初期可能会感到毫无思路，因此就要学会分析图形，从图像中寻找思路。

综上所述，数形结合思想在二次函数中的应用是非常广泛的，因此在解题中要充分运用其函数图像并且联系其函数表达式、函数性质，这样往往会使难题迎刃而解。所以，在今后的学习和做题中要充分了解、学习和运用函数图像，这样不仅可以让学生对数形结合思想认识得更加全面，也有助于学生数学素养的提升。