基于Chebyshev展开的区间穿孔板超材料分析1)

刘 坚 雷济荣 夏百战

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙410082)

基于Chebyshev展开的区间穿孔板超材料分析1)

刘 坚 雷济荣 夏百战2)

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙410082)

目前对于声学超材料的传输特性分析和优化大多是基于确定的数值和确定的模型，然而在实际工程和结构设计中存在大量材料自身特性和几何物理参数的不确定性.如果忽略这些不确定变量对声学超材料传输特性分析和优化过程的影响，得到的结果可能不正确.针对这一现状，拟将切比雪夫区间模型引入多层穿孔板超材料，提出多层穿孔板超材料声学透射率的区间切比雪夫展开--蒙特卡洛模拟法(interval Chebyshev expansion-Monte Carlo simulation method，ICE-MCSM).该方法采用截断切比雪夫多项式近似拟合多层穿孔板超材料的声学透射率响应曲线，构造声学透射率响应曲线的切比雪夫代理模型；然后采用蒙特卡洛模拟法(Monte Carlo simulation method，MCSM)随机生成一定数量的不确定区间变量的样本数据点，并将生成的不确定区间变量样本数据点代入切比雪夫代理模型，预测单个不确定区间变量和多个不确定区间变量条件下的多层穿孔板超材料声学透射率区间的上界和下界.数值分析结果表明,ICE-MCSM预测的声学透射率变化区间的上界和下界与直接蒙特卡洛法(direct Monte Carlo simulation method，DMCSM)预测的声学透射率上界和下界的结果非常接近.与DMCSM相比，ICE-MCSM具有更高的计算效率.因此，ICE-MCSM可有效且高效地分析不确定区间变量条件下多层穿孔板超材料声学透射率传输特性，具有良好的工程应用前景.

超材料,声学透射率,切比雪夫展开,区间分析

引言

作为一个新兴研究领域，超材料引起了极大的关注.超材料最开始起源于电磁复合材料.1968年，前苏联物理学家Veselago在理论上提出一种介电常数ε和磁导率µ同时为负的电磁材料[1].最近十多年，随着实验条件的改善，研究者在电磁超材料的理论和实验上做出了一系列成果显著的研究工作[2-3].根据声波方程和麦克斯韦方程之间的相似性，研究人员通过类比电磁超材料，设计和制造出了声学超材料[4-8].当声波或者弹性波在声学超材料中传播时，能够表现出一些特殊的性质，如负折射[9-10]声聚焦[11]和超级声通道[12]等.

声学超材料的特性与其带隙的产生有着密切联系.带隙的产生主要源于布拉格散射[13]和局域共振[14].因为布拉格散射的带隙频率一般出现于波长与晶格常数在同一数量级的频率区域,所以其难点在于在较小的周期尺寸条件下得到频率较低的带隙.而基于局域共振机理的结构[15]，其带隙所对应的波长可以远大于晶格常数，突破了布拉格散射机理的限制.最近Akozbek等[16]研究了多层穿孔板超材料的声学特性，其特点在于保留了基于法布里--珀罗(Fabry Perot，FP)共振的亚波长穿孔板的超透射(extraordinary acoustic transmission)[17]特性，同时还产生了周期性材料所具有的带隙特性[18].这种结构可以广泛应用于带通滤波器、医学检测、能量收集和噪声控制.此外，多层穿孔板最大的优点在于可以通过调节穿孔直径的大小，改变穿孔板的材料参数来调节带隙频率和超透射频率位置.

上述讨论的声学超材料的声学传输特性都是基于确定的模型和确定的数值分析得到的.然而在实际工程设计中存在大量材料自身特性、几何物理参数的不确定性，如果忽略这些不确定因素，对声学超材料的声学传输特性进行分析，得到的结果可能不正确[19-21].

如果用实际复杂的模型来解决不确定性问题计算成本巨大，因为在求解不确定性问题时涉及大量的计算.比如运用有限元方法来计算汽车悬架系统的不确定性问题，每一次计算时间会达到几个小时，而整个不确定性分析需要计算的次数达到上百次甚至上千次，整个不确定性分析过程非常耗时.因此，代理模型被广泛用来代替复杂模型.近些年，一系列代理模型得到了快速的发展，比如多项式回归模型、Kriging模型、径向基函数(RBF)和多变量自适应回归样条函数(MARS).Jin等[22]基于精确性、稳健性、效率和操作简便性这4个标准对比研究了这4种方法.结果显示多项式回归模型在效率和简便性上具有较大的优势.Kriging,RBF和MARS对于非线性较强的问题具有较好的适应性，但是其稳定性不如多项式回归模型.对于非线性较强的问题，传统二阶多项式回归模型拟合精度不高，但是可以通过提高多项式的阶数来提高精度.然而一般多项式拟合阶数越高，容易产生龙格现象，但当采用第一类切比雪夫多项式作为代理模型来近似拟合就能避免龙格现象.所以本文将采用第一类切比雪夫多项式来近似模拟声学超材料的复杂模型有限元计算过程,从而获得一个有效的代理模型.

目前处理不确定性问题的最常用办法包括概率法和非概率分析法.由于概率法需要大量样本数据点来构造不确定变量的概率密度函数，因此当样本数据点较少时，该方法具有一定局限性.非概率分析法能通过较少的信息来获得不确定性边界，因此可以较好地处理样本数据点较少的工程问题.区间模型是非概率可靠性模型中的一种.目前常用的区间模型分析方法包括：高斯消去法(Gaussian elimination method，GEM)、区间摄动法[23](interval perturbation method，IPM)、蒙特卡洛模拟抽样法(MonteCarlosim-ulation method，MCSM)[24]和区间切比雪夫展开分析方法(interval Chebyshev expansion method，ICEM)[25].沈祖和[26]研究发现仅在矩阵对角元素占优时，高斯消去法才具有较大的精度，且高斯消去法的精度受限于消去步骤，随着消去步骤的增加，精度会逐渐降低.区间摄动法是一种高效的区间方法.将仿射法(affinearithmeticmethod，AAM)引入区间摄动法[27]，能在一定程度上缓解区间扩张现象.但区间摄动法较大的近似误差限制了它的应用.MCSM是最简单最稳健的区间分析方法，根据MCSM概率收敛性，随着样本数据的增加，其计算精度会逐步提升.当样本数据趋于无穷大时，MCSM的计算结果逐渐收敛于真实解.近年来区间切比雪夫展开分析方法在不确定区间问题上已有较成熟的发展.Xia等[28]将切比雪夫区间方法应用于不确定时域系统动态响应分析中.Wu等[29]将区间切比雪夫展开分析方法应用于不确定条件下汽车悬架的优化.Yin等[30]将区间切比雪夫展开分析方法推广到了中频声场响应分析.

综上所述，切比雪夫区间分析方法已经成熟地运用到了不确定时域系统、汽车悬架等的不确定性优化以及中频声场响应分析中.但是在声学超材料领域内，区间切比雪夫展开分析方法还没有得到相应的研究和应用.本文将采取区间切比雪夫展开方法对声学超材料进行区间不确定分析.首先介绍了多层穿孔板超材料声学透射率的有限元 (finitelement，FE)计算方法，并采用直接蒙特卡洛模拟法(direct Monte-Carlo simulation method，DMCSM)来预测多层穿孔板超材料声学透射率的区间边界.DMCSM是通过蒙特卡洛模拟法生成大量的样本数据点，并将这些样本数据点代入有限元方程预测多层穿孔板超材料声学透射率的区间边界.由于将所有的样本数据点代入有限元方程预测声学透射率区间边界是一个计算成本较高的过程.因此，为了解决DMCSM计算成本高的问题，提出了区间切比雪夫展开--蒙特卡洛模拟法(ICE-MCSM).该方法采用截断切比雪夫展开多项式近似拟合多层穿孔超材料声学透射率响应曲线，构建声学透射率响应曲线的代理模型，代替有限元计算声学透射率的方程；然后通过蒙特卡洛模拟方法生成大量的样本数据点，并将这些样本点代入代理模型来计算单个不确定区间变量和多个区间不确定变量声学透射率的区间边界.最后比较了DMCSM和ICE-MCSM两种方法对声学透射率响应曲线进行不确定区间分析的效率和精度.

1 多层穿孔板超材料有限元方法

1.1 多层穿孔板超材料基本模型

图1是穿孔铝板为与空气层交替排列组成的多层穿孔板超材料周期性结构，其铝板单元晶胞的尺寸为dx和dy，面积为S2=dxdy，亚波长孔半径为r，面积为S1=πr2.铝板厚度为la，空气层厚度为lb.cair和ρair分别是空气声速和空气密度，θ是平面波与Z轴的夹角,即入射角.具体的多层穿孔板超材料模型结构和材料参数见表1.

图1 多层穿孔板超材料模型Fig.1 Model of multi-layer metmaterials

表1 多层穿孔板超材料模型结构和材料参数Table 1 Parameters of multi-layer metmaterials

1.2 多层穿孔板超材料声学透射率有限元计算方法

角频率为 ω的谐振弹性波在线弹性、各向同性、小变形且无源均匀介质中的传播行为可用以下波动方程描述[31]

其中，r=(x,y,z)为位置矢量；u(r)为位移矢量，为矢量微分算符；为拉普拉斯算子；λ和 µ为材料的Lame常数，与纵波波速cl和横波波速ct的关系为

方程(1)也可以写成分量形式

整理式(3)可得

其中i,j=x,y,z，ui为位移矢量u(r)的分量.

平面波的传播介质是空气，即在传播过程中不存在横波，只存在纵波.故式(1)的波动方程可简化为

其中p为压力，ρ为传播介质的密度.将式(5)写成分量形式

其中i=x,y,z.

当用有限元方法求解式(5)时，可将其写成离散形式的广义特征值方程

其中,K为整体结构的刚度矩阵，可写成K=B为应变矩阵；Ve表示单胞的整个区域；M为质量矩阵，可写成为形函数矩阵；为单胞的位移矩阵.

对于有限周期结构，通常用频率响应函数来描述其传输特性.如果输入输出端同时对其声压的平方进行面积积分，则输出输入端的比值为一个无量纲的比例系数，即声学透射率.

接下来可以利用有限元软件直接求解式(7)的特征值方程.将特征值代入式(5)求出任意位置的声压值.多层穿孔板超材料声学透射率t可表述为

其中，p0和p1分别表示输入和输出端的声压值；s0和s1分别表示输入和输出端的表面积.故可以利用式(8)求出任意频率下的声学透射率t.

当n分别等于1,2,3和4时(n表示穿孔铝板与空气层组成的周期数)，声学透射率与频率之间的响应曲线如图2所示.从图2可以看出，当周期数n大于等于2时，透射率中出现了带隙.该带隙对应的声学透射率系数会随层数的增加而变小.另外，当周期数n=2时，透射率在15kHz得到明显的加强，当周期数n增加到4时，由于FP共振，超透射波峰会随之增加到3个.

图2 周期数n分别等于1,2,3和4时声学透射率响应曲线Fig.2 Response curve of transmittance for periodicityn=1,2,3 and 4

为了更好地说明声波在多层穿孔板超材料中的传播效果，本文给出了在周期数n=2，入射平面声波大小为1Pa时两种不同频率下(11kHz,15kHz)的声波分布图，如图3.从图3(a)可以看出其出射声压接近0.25Pa，声学透射率为0.2，这与图2所示的结果吻合.从图3(b)可以看出,其出射声压为-1Pa，把其入射波和出射波声压值代入式(8)可以计算其声学透射率为1，结果与图2所示的有限元结果吻合.

图3 入射波频率分别为11kHz(a)和15kHz(b)时的声压分布图(周期数n=2)Fig.3 Sound pressure fiel for plane wave incidence under the frequency of 11kHz(a)and 15kHz(b)(n=2)

1.3 不确定条件下多层穿孔板超材料声学透射率有限元区间分析方法

本小节在声学透射率有限元计算方法的基础上，采用直接蒙特卡洛模拟法对多层穿孔板超材料的声学透射率进行区间分析.

假设不确定区间变量的个数为k，区间变量可表达为

(1)设不确定区间变量的个数为k，并确定不确定区间变量的上、下界，初始化循环次数i=1；

(2)假设k个不确定区间变量在给定区间内服从均匀分布，并对k个不确定区间变量分别随机生成n组样本数据点

(3)通过有限元方法(式(8))计算不确定区间变量每一组数据样本点的声学透射率ti(f,xi)的值.循环次数i=i+1；

(4)判断循环次数i.如果i≤n，返回步骤3继续计算下一组样本数据的值.如果i＞n，比较所有声学透射率的值t1(f,x1),t2(f,x2),··,tn(f,xn)，得到所有频率下最大声学透射率的值tmax(f,xmax)和最小声学透射率的值tmin(f,xmin)，即为声学透射率区间边界值.

图4 DMCSM声学透射率区间边界分析流程Fig.4 Flow chart of DMCSM for bounds analysis of transmittance

MCSM具有概率收敛的特性.如果产生的样本数据足够大，DMCSM所求得的声学透射率上、下界将收敛于真实区间的上、下界.因此DMCSM可以作为声学透射率区间分析的参考解.DMCSM是直接将样本数据点代入有限元方程来预测声学透射率的区间边界，这是一个高成本的计算过程.为了提高计算声学透射率区间边界的效率，下文将采用截断切比雪夫级数来近似拟合有限元计算声学透射率响应曲线，再通过蒙特卡洛模拟方法随机生成样本数据点，然后将这些随机样本点代入声学透射率切比雪夫代理模型来预测声学透射率的区间边界.相比DMCSM复杂的有限元计算方程，ICE-MCSM构建的声学透射率切比雪夫代理模型是关于区间变量的简单函数，声学透射率区间边界的计算效率会得到显著的提高.

2 不确定条件下多层穿孔板超材料声学透射率ICE-MCSM

2.1 声学透射率切比雪夫代理模型的构建

当不确定区间变量个数为k且其不确定区间范围为xi∈[-1,1],(i=1,2,··,k)，k阶切比雪夫多项式可以表示为

Michalewicz函数三维图形如图5所示.

图5 Michalewicz函数Fig.5 Michalewicz function

本文主要通过平均误差指数emean来描述切比雪夫代理模型的精度

式中，y和分别表示原函数声学透射率的真值和用切比雪夫多项式计算出来的声学透射率值.为了保持测试样本点的一致性，本文采用Hamersley序列测试点产生1000个测试点.

从图 6可以看出随着切比雪夫截断阶数的增加，切比雪夫代理模型的误差值会随着减小.误差值越低说明其切比雪夫代理模型的精度越高.当切比雪夫截断阶数为2阶时，其平均误差emean为0.8，当截断阶数增加到6阶时，其平均误差emean为0.079.这说明当截断阶数增加到一定时，切比雪夫代理完全可以满足较高的精度要求.

图6 切比雪夫代理模型平均误差Fig.6 Average error of Chebyshev approximation

2.2 声学透射率ICE-MCSM计算流程

当用截断切比雪夫多项式近似计算声学透射率时，式(11)就被认为是声学透射率切比雪夫代理模型.因为x是不确定区间变量，所以代理模型式(11)是关于区间的函数.在求得式(12)中的切比雪夫代理模型的常系数向量后，声学透射率切比雪夫代理模型就是一个关于区间变量的简单区间函数.相比有限元方法，其计算效率会有较大的提高.在构建切比雪夫代理模型后，再把蒙特卡洛模拟法引入到声学透射率切比雪夫代理模型中，就能非常高效地计算得到声学透射率区间边界.ICE-MCSM的主要流程如图7所示.具体步骤如下：

(1)设不确定区间变量的数量为k，并确定不确定区间变量的上、下界，初始化循环次数i=1;

(2)假设k个不确定区间变量在给定区间内服从均匀分布，并对k个不确定区间变量分别随机生成n组样本数据点

(3)根据式(12)求得声学透射率截断切比雪夫多项式的常系数向量，并构建式(11)所示的声学透射率切比雪夫代理模型；

图7 ICE-MCSM声学透射率区间边界分析流程Fig.7 Flow chart of ICE-MCSM for bounds analysis of transmittance

(4)通过式(11)计算不确定区间变量每一组数据样本点的声学透射率ti(f,xi)的值.循环次数i=i+1；

(5)判断循环次数i.如果i≤n，返回步骤4继续计算下一组样本数据的值.如果i＞n，比较所有的声学透射率的值t1(f,x1),t2(f,x2),··,tn(f,xn)，得到所有频率下声学透射率的最大值tmax(f,xmax)和声学透射率的最小值tmin(f,xmin)，即为声学透射率的区间边界值.

3 多层穿孔板超材料声学透射率的ICEMCSM区间分析

3.1 单个不确定区间变量的声学透射率的ICEMCSM区间分析

当单个不同的结构参数la和lb以及cair和穿孔半径r分别作为区间变量时，其不确定范围如表2所示.其中case 1,case 2和case 3分别表示三种不同的区间范围不确定度，且其不确定度逐渐增加.分析频带范围为1～20kHz，选择4阶切比雪夫级数进行分析.在case 1，case 2和case 3三种不同区间范围条件下，对4个不确定区间变量的声学透射率区间分析结果如图8～图10所示.

表2 不确定区间变量的变化范围Table 2 Uncertainty range of interval variables

从图8～图10可以看出，在case 1情况下，ICE-MCSM对所有的区间变量均与参考解DMCSM接近，在case 2和case 3情况下，在EAT频率附近ICE-MCSM计算得到的声学透射率区间上下界略微偏离参考解DMCSM，这是因为EAT附近的频率为系统特征频率，与不确定区间变量有很强的非线性关系，所以声学透射率在特征频率附近对不确定区间变量较为敏感.

图8 在case 1区间条件下区间变量la,lb,cair,r的声学透射率区间边界Fig.8 Interval bounds of transmittance forla,lb,cair,rin case 1

图9 在case 2区间条件下区间变量la,lb,cair,r的声学透射率区间边界Fig.9 Interval bounds of transmittance forla,lb,cair,rin case 2

图10 在case 3区间条件下区间变量la,lb,cair,r的声学透射率区间边界Fig.10 Interval bounds of transmittance forla,lb,cair,rin case 3

图10 在case 3区间条件下区间变量la,lb,cair,r的声学透射率区间边界(续)Fig.10 Interval bounds of transmittance forla,lb,cair,rin case 3(continued)

为了进一步说明ICE-MCSM计算声学透射率区间边界的精度.这里以板厚区间la在case 3情况下为例，截断阶数取为4，5和6阶.ICE-MCSM方法在EAT频率附近(f=15kHz，f=15.5kHz)计算得到的声学透射率区间边界值与DMCSM参考解产生的相对误差如表3所示.从表3可以明显的看出,当截断阶数为4时，相对误差在3%～7%之间，随着切比雪夫截断阶数的增加，ICE-MCSM精度会有所上升.当截断阶数达到6时，用切比雪夫代理模型计算声学透射率响应曲线区间边界基本与参考解重合.原因是随着切比雪夫截断阶数的提高，声学透射率响应曲线的切比雪夫代理模型拟合精度会随着提高.

计算成本是评估ICE-MCSM性能的另一个指标. ICE-MCSM的计算成本主要由两部分构成，第一部分是声学透射率切比雪夫代理模型的构建的计算成本，第二部分是将蒙特卡洛模拟方法均匀生成的样本点代入切比雪夫代理模型计算声学透射率区间边界的计算成本.DMCSM的计算成本主要集中在直接将样本点代入有限元方程进行声学透射率区间分析的过程，故样本点数量直接决定了DMCSM的计算成本.为了得到一个较为合理的样本点数量，本文对DMCSM进行收敛性分析.在单个不确定区间变量条件下，以板厚区间la在case 3(15kHz)情况为例.当数据样本点的个数分别为100，300，500，700和900时，单个不确定区间变量条件下多层穿孔板超材料的声学透射率上、下界在15kHz与数据样本点的收敛关系如图11所示.从图11中可以明显看出，当抽样点大于500时，声学透射率上、下界分别收敛于0.9998和0.5339.

表3 不同截断阶数条件下ICE-MCSM的相对误差(f=15kHz，f=15.5kHz)Table 3 Relative error of ICE-MCSM for dif f erent truncations(f=15kHz，f=15.5kHz)

图11 基于DMCSM声学透射率区间(a)上界(b)下界的收敛图(15kHz)Fig.11 The covergence plot of transmittance for interval upper bound(a)and lower bound(b)based on DMCSM(15kHz)

ICE-MCSM和DMCSM两种方法的具体计算成本如表4所示.单次有限元方法计算声学透射率的时间为56s(3.30GHz Xeon(R)CPU E3 1230 v3),故DMCSM求出声学透射率上、下界的时间成本为30000s.从表4可以看出，ICE-MCSM的总耗时是远远低于DMCSM的，这是因为ICE-MCSM的计算成本主要集中在式 (12)和式(13)切比雪夫--高斯积分插值点的计算和常系数向量的计算.由于ICE-MCSM在构建代理模型需要的插值点数量远小于DMCSM，故ICE-MCSM的计算效率远高于DMCSM.另外从表中可以看出在得到截断切比雪夫级数后，再通过MCSM计算声学透射率的区间上、下界的耗时只占用ICE-MCSM总耗时非常小的部分，这是因为声学透射率切比雪夫级数代理模型是关于区间变量的简单函数，其计算成本较低.最后，随着切比雪夫截断阶数的提高，ICE-MCSM的总耗时是逐渐增加.但是相比于DMCSM的总耗时，是完全可以接受的.

表4 单个区间变量下ICE-MCSM和DMCSM声学透射率区间边界计算成本对比Table 4 Comparison of computational cost between ICE-MCSM and DMCSM for interval bounds of transmittance in the case of single variables

3.2 多个不确定区间变量的声学透射率的ICEMCSM区间分析

本小节讨论多个不确定区间变量条件下，多层穿孔板超材料声学透射率的区间分析.假设4个不确定区间变量分别为铝板的厚度la，空气层的厚度lb,空气声速cair以及穿孔半径r，其区间范围大小为case 1,case 2和case 3.通过ICE-MCSM计算得到多层穿孔板超材料透射率响应曲线区间上、下界如图12～图14所示.从图12～图14可以看出，在case 1和case 2情况下，当截断切比雪夫采用5阶时，其声学透射率区间上、下界能与DMCSM很好的吻合.在case 3情况下，在EAT频率附近ICE-MCSM的边界与DMCSM的边界有略微偏差.接下来为了提高case 3情况下ICE-MCSM在EAT频率附近的透射率响应曲线的精度，把切比雪夫多项式截断阶数提高到6阶，得到透射率响应曲线区间上、下界如图15所示.可以明显看出，采用ICE-MCSM分析得到的声学透射率区间上、下界与DMCSM分析得到的区间上、下界基本吻合.

图12 Case 1条件下声学透射率区间边界(5阶)Fig.12 Interval bounds of transmittance in case 1(5 order)

图13 Case 2条件下声学透射率区间边界(5阶)Fig.13 Interval bounds of transmittance in case 2(5 order)

图14 Case 3条件下声学透射率区间边界(5阶)Fig.14 Interval bounds of transmittance in case 3(5 order)

图15 Case 3条件下声学透射率区间边界(6阶)Fig.15 Interval bounds of transmittance in case 3(6 order)

为了进一步说明多区间不确定变量条件下ICEMCSM的计算效率，以case 3为例，对比ICE-MCSM和DMCSM在计算声学透射率区间上、下界的耗时(采用 10000个样本点)，其计算成本列在表 5中.从总耗时可以看出，ICE-MCSM的计算耗时远小于DMCSM.其主要原因是相比DMCSM中有限元方法计算声学透射率区间边界，ICE-MCSM中采用切比雪夫代理模型来计算分析声学透射率的区间边界，其效率会得到很大的提升.

表5 多个区间变量下ICE-MCSM和DMCSM声学透射率区间边界计算成本对比Table 5 Comparison of computational cost between ICE-MCSM and DMCSM for interval bounds of transmittance in the case of multi-variables

4 结论

基于切比雪夫理论基础和多层穿孔超材料声学透射率的有限元计算方法，本文提出了切比雪夫区间有限元方法(ICE-MCSM)来进行不确定条件下超材料的区间分析.首先用截断切比雪夫级数展开拟合声学透射率响应曲线，从而构建声学透射率切比雪夫代理模型；接着通过MCSM生成一定数量的随机点，并将这些点代入声学透射率切比雪夫代理模型,预测单个和多个不确定区间变量的声学透射率的区间边界.为了说明ICE-MCSM在不确定性条件下对于声学透射率区间分析的有效性，本文把DMCSM方法作为参考解，对比分析了ICE-MCSM的计算精度和计算效率.对比结果表明随着切比雪夫多项式截断阶数的提高，ICE-MCSM对声学透射率区间分析的精度会提高.当切比雪夫截断级数提升到6阶时，采用ICE-MCSM得到的声学透射率区间上下界基本与采用DMCSM得到的上下界几乎完全重合.这说明通过提高切比雪夫多项式截断阶数可以提高ICE-MCSM对于声学透射率区间分析的精度.另外，在多个不确定区间变量条件下，对于区间范围不确定度较大的情况，同样通过提高切比雪夫多项式截断阶数可以提高ICE-MSCM对于声学透射率的区间分析精度.虽然随着切比雪夫多项式截断阶数的增加，ICE-MCSM的计算成本也会增加.但是与获得的高精度相比，计算成本的增加可以接受.此外，ICEMCSM的计算成本远小于DMCSM方法，因此ICEMCSM可以推广到多层穿孔板超材料的不确定区间分析问题中.

从不确定变量的个数分析上来看，随着不确定变量个数的增加，ICE-MCSM的计算成本会呈指数增长.所以ICE-MCSM只适用于不确定区间变量适中的情况.对于多个不确定区间变量的问题，可以通过抽样方法生成更加均匀的样本点来减少构建高阶切比雪夫多项式的样本点,从而提高分析效率.

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THE INTERVAL ANALYSIS OF MULTILAYER-METAMATERIALS WITH PERFORATED APERTURES BASED ON CHEBYSHEV EXPANSION1)

Liu Jian Lei Jirong Xia Baizhan2)

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha410082，China)

Up to now,the response analysis and optimization of acoustic metamaterials are mostly based on deterministic parameters and deterministic models.However,in the real engineering world and structure design field where there are many uncertainties,such as the uncertain of material properties and geometric parameters.If the ef f ects of uncertain variables on analysis and optimization of acoustic metamaterials are not taken into account,the analysis and optimization results may not true.Aiming at this problem and situation,in this paper where the interval model is introduced into multilayer-metamaterials with perforated apertures,and interval Chebyshev expansion-Monte Carlo simulation method(ICE-MCSM)of multilayer-metamaterials with perforated apertures for transmission characteristic is proposed. In ICE-MCSM,truncated Chebyshev polynomials is applied to surrogate the transmittance of multilayer-metamaterials with perforated apertures;therefore,the surrogate model of transmittance is constructed.The samples of interval vari-ables are produced by Monte Carlo method,then the values of these samples are substituted into the surrogate model of transmittance to predict the interval bounds of multilayer-metamaterials with perforated apertures under single-interval variable and multi-interval variables.The results of numerical analysis show that the upper interval bounds and lower interval bounds calculated by ICE-MCSM match the response yields by direct Monte Carlo simulation method(DMCSM). Compared to DMCSM,ICE-MCSM achieves a higher accuracy in interval bound analysis,so ICE-MCSM can ef f ectively and efficiently analyze the interval bounds of multilayer-metamaterials with perforated apertures under uncertain interval variables.Thus,this proposed method in this paper can have promising prospects in real world engineering applications.

metamaterials,transmittance,Chebyshev expansion,interval analysis

O241

A doi：10.6052/0459-1879-16-254

2016-09-09收稿，2016-11-20录用,2016-11-24网络版发表.

1)国家自然科学基金(11402083)和中央高校基本科研业务费资助项目.

2)夏百战，副教授，主要研究方向：汽车振动和噪声的不确定数值分析与优化方法.E-mail：xiabz2013@hnu.edu.cn

刘坚，雷济荣，夏百战.基于Chebyshev展开的区间穿孔板超材料分析.力学学报,2017,49(1)：137-148

Liu Jian,Lei Jirong,Xia Baizhan.The interval analysis of multilayer-metamaterials with perforated apertures based on Chebyshev expansion.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：137-148