克莱姆法则的一个推广

崔春强

摘 要：本文給出了在形式矩阵环Mn（R；s）上，克莱姆法则的一个推广。

关键词：形式矩阵环；克莱姆法则；s-行列式

1.引言

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。我们将要给出，在形式矩阵环Mn（R；s）上，克莱姆法则依然成立。

环R的雅各布森根，中心，零因子集和单位群分别记为 J（R），C（R），Z（R） 和 U（R）。

2. 主要结果

首先，我们介绍一些必要的定义和引理来辅助定理的证明。

容易验证，Mn（R；s）构成一个环，我们把它叫做由中心元 s 确定的环 R 上的形式矩阵环。形式矩阵环上的矩阵乘法不同于经典的矩阵乘法，我们有必要作简单的介绍，例如：

对于二阶的情形M2（R；s） ，我们有：

对于三阶的情形M3（R；s） ，我们有：

引理1.（[1]，性质 4）设 R 是环，s∈C（R），n≥2。 那么

是一个环同态。

定义2.（[1]，定义 33） 我们把A∈Mn（R；s）的同态像 的行列式叫做形式矩阵环Mn（R；s）上 A 的s-行列式，记为dets（A）。

定义3.（[2]，P 3-4）设A∈Mn（R；s），

其中，Xk，Bk都是Mn（R；s）上的 n 阶方阵。 XK的第 k 列是 ，其余位置的元素均为 0。Bk的第 k 列是 ，其余位置的元素均为 0。

我们把 叫做 s-线性方程组，且这个方程组等价于以下方程组：

该方程组可以写成以下矩阵形式：

定理1（[2]，定理 2.8） 设A∈Mn（R；s），那么det（As，k）=dets（A）。

下面我们给出主要的结论及其一个例子。

定理2（Cramer's rule） 设A∈Mn（R；s）。如果dets（A）∈U（R），那么方程组

有唯一解 ，其中 ，

是把系数矩阵As，k的第 j 列用向量 代替后所得的矩阵。

证明：注意到 等价于As，kX=B，并且dets（A）=det（As，k）。

参考文献

[1] G. Tang， Y. Zhou， A class of formal matrix rings， Linear Algebra Appl. 438（12）（2013）， 4672-4688.

[2] G. Tang， C. Cui， On Zero-divisors of the Formal Matrix Ring ， J. Guangxi Teachers Education University， 31（1）（2014）， 1-6.