朴实出新 平淡见真——“集合与常用逻辑用语、复数”高考复习专题*

●熊丰羽 (宁波中学 浙江宁波 315004)

朴实出新 平淡见真
——“集合与常用逻辑用语、复数”高考复习专题*

●熊丰羽 (宁波中学 浙江宁波 315004)

集合与常用逻辑用语是高中数学最基础的内容，复数也是高中数学的基本内容，2者都是高考必考的知识点.考查题型多为选择题、填空题，分值和难度也相对稳定.复习中不但要掌握这些章节的基础知识，而且要领悟其背后蕴含的数学思想方法.

集合;常用逻辑用语;复数

1 知识内容

根据《考试说明》，2017年浙江省数学高考“集合与常用逻辑用语”的考试内容包括：集合及其表示、元素与集合的关系、集合间的基本关系、集合的基本运算；命题的4种形式、充分条件、必要条件和充要条件.复数部分的考试内容有：复数的概念、复数的加减运算以及几何意义、复数的四则运算.与《2016年考试说明》比较，常用逻辑用语的考试内容有显著变化，删掉了“了解逻辑联结词‘或’‘且’‘非’的含义；理解全称量词和存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定”.

2 命题分析

2.1 集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语是高中数学最基础的内容，是每年高考必考的知识点.考查题型多为选择题、填空题，分值和难度也相对稳定.其中集合部分考向主要有2个：1)考查集合的基本概念、结合函数、方程、不等式知识考查集合的基本关系及运算(这类问题一般难度不大).2)以集合为背景的创新性问题(这类问题充分体现了集合作为基本数学语言和工具的一面，试题新颖，难度较大).常用逻辑用语的命题主要围绕2点：1)4种命题及其关系，特别是否命题；2)判断充分条件、必要条件和充要条件.这是考查的重点，复习时一定要辨析清楚3者的区别.考查题型以选择、填空题为主.当然由于常用逻辑用语的基础性，因此除了单独考查外，常用逻辑用语还常常作为简化解题过程的基本思想和策略出现，如命题的等价转换、利用必要条件等.

2.2 复数

主要考查复数的概念、几何意义及四则运算，特别是乘法运算和除法运算，求复数的模.常常将复数的概念、几何意义和四则运算融合在一起命题.试题一般比较容易，是高考中的得分点.复习时只需理解复数概念，熟练掌握复数四则运算.

3 典题剖析

例1 已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(CRQ)=

( )

A.[2,3] B.(-2,3]

C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

(2016年浙江省数学高考理科试题)

分析 正确答案为B.本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考试题看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.它可以与求函数定义域、值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.解题时可以借助数轴、韦恩图进行运算.

例2 设A,B是有限集，定义d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数.

①对任意有限集A，B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件.

②对任意有限集A,B,C，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

则

( )

A.命题①和命题②都成立

B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立

D.命题①不成立，命题②成立

(2015年浙江省数学高考理科试题)

分析 正确答案为A.本题取材于人教A版《数学》必修1的“阅读与思考”，背景是容斥原理，有一定的难度，关键是理解题意并合理利用容斥原理、韦恩图等工具解决问题.card(A∪B)≥card(A∩B)当且仅当A=B时等号成立，从而命题①成立.根据容斥原理可知

d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)

⇔ card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+

card(C)+2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)⇔card(B∩C)+card(A∩B)-2card(B)≤card(A∩C),这个式子显然成立.当然容斥原理在高考中不作要求，因此本题也可以通过韦恩图分析.

例3 设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n<0”的

( )

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2016年天津市数学高考试题)

分析 充分、必要条件一般来说有3种判断方法.1)定义法：直接判断“若p则q”“若q则p”的真假,并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件.2)等价法：对于条件或结论为否定式的命题，可以利用原命题与其逆否命题的等价性，先分析逆否命题.3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.

本题中可将条件a2n-1+a2n<0作等价转化,即

a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔

q2(n-1)(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1)，

因此“q<0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n<0”的必要不充分条件.故选C.

(2016年天津市数学高考试题)

图1

例5 已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2，+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围.

(2013年全国数学高考大纲卷试题)

( )

A.-4B.-3C.3D.4

(2015年全国数学高考新课标卷试题)

分析 由题意可得

2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，

从而

a=4.

复数题主要考查其代数形式的四则运算、复数相等、复数的模等知识点，一般属于容易题.复习时应准确区分复数的相关概念(如实部、虚部)，熟练掌握四则运算.

4 精题集萃

1.l1,l2表示空间中的2条直线，若p：l1,l2是异面直线；q：l1,l2不相交，则

( )

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}，B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为

( )

A.77B.49C.45D.30

3.设S，T是2个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足：1)T={f(x)|x∈S}；2)对任意x1，x2∈S，当x1

( )

A.A=N*，B=N

B.A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8或0

C.A={x|0

D.A=Z，B=Q

4.设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，令集合S={(x，y，z)|x，y，z∈X，且3个条件x

( )

A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S

B.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S

C.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S

D.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S

p1：对任意(x，y)∈D，x+2y≥-2.

p2：存在(x，y)∈D，x+2y≥2.

p3：对任意(x，y)∈D，x+2y≤3.

p4：存在(x，y)∈D，x+2y≤-1.

其中的真命题是

( )

A.p2，p3B.p1，p2C.p1，p4D.p1，p3

6.i是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i) 是纯虚数，则实数a的值为______.

7.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则(CUA)∩B=______.

8.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x-2，若同时满足条件：

①任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0；

②任意x∈(-∞,-4) ,f(x)g(x)<0,

则m的取值范围是______.

9. 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列4个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4,有且只有1个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是______.

10.已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…，n}.

1)当q=2，n=3时，用列举法表示集合A;

2)设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n,证明：若an

参 考 答 案

1. A 2.C 3.D 4.B 5.B

6.-2 7.{7,9} 8.m∈(-4,-2) 9.6

10.1)A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

2) 证明 由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

故s

��2016-12-22；

2017-01-23

熊丰羽(1977-)，男，浙江宁波人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O14

A

1003-6407(2017)03-28-03