应用型高校数学专业实验课程的改革实践——以吕梁学院为例

李香林,高灵芝

(吕梁学院 数学系,山西 离石 033001)

一、数学专业实验课程改革思路

围绕“重基础、强技能、多实践、求创新”人才培养思路，数学实验按照学科的发展规律和学生的认知层次进行整合和优化，将以前一门数学实验课程内容内化在多门专业课程中，根据学科发展前沿和教师科研课题，不断更新实验实践教学内容。

首先按照数学学科发展规律，系统地构建由课程内实验—课外社会实践—课外科研实践—毕业论文(设计)四大类实践课程模块构成的实践教学体系。

其次根据学生的认知规律分别对四大类实践课程模块设立由基础性实验/实践(注重专业基本知识、技能和方法训练)—综合性、设计性实验/实践(注重对科学研究方法、科学探究过程的了解和体验)—创新性实验/实践(注重研究能力和创新能力培养)构成的三层次实践教学内容。

第三，层次性教学同时体现在随着年级的升高，基础性实验比例减少，创新性实验比例增加。

二、实验课程体系设计

图1 实践教学体系

(一)实验环境的选择

数学实验可以有多种软件可选择，最为流行通用的软件有Maple,Matlab，Mathmatics,SPSS，SAS,C语言等。每种工具有其各自的擅长之处，Matlab、SPSS在数学实验教学中广泛使用。

(二)实验内容设计

遵循实验内容的层次性教学，将实验内容设计成基础性实验—综合性、设计性实验-创新性实验三个层次，在有限的时数内，选择不同层次的实验内容，基础性实验基本是简单的命令及验证性内容，可以让学生看到验证结果；综合性、设计性实验以解决实验问题为主，综合运用到所学课程内容。随着年级的升高，专业课程的增加，实验内容应由第1学期以基础验证为主，第2-4学期以设计、综合运用为主，到第5-8学期以创新运用为主。

表1 数学专业各年级实验课程层次图

(三)教学过程设计

实验教学不同于理论教学，且实验时数较少，教学过程中可以将基础性验证性实验由学生自己课下完成，设计、综合性实验分小组课前讨论，完成建模、编程、求解，同时教师根据学生实验过程中存在的问题进行分析修改，以帮助学生完成全部实验。即实验课主要以学生为主体，老师为主导进行，让学生完整体验数学解决实际问题的乐趣。

(四)课外社会实践

数学专业学生需获得4个学分的创新实践学分，该学分不占课堂时间，其中数学建模竞赛、挑战杯比赛、行业数据分析、创新创业等活动都可以获得相应学分。在这些活动中能运用数学实验的思想方法将理论运用于实际生活与工作。

(五)课外科研实践

在大一完成基础实验的情况下，从大二开始选拔优秀的学生参与教师科研项目。如图像处理、信息隐藏、数据挖掘、数据分析等。同时将学生组成学习小组，开展学习活动，学习内容包括数学实验中用到的典型算法、工具、论文写作以及数学在各学科、行业中的最新应用等。

(六)毕业论文(设计)

毕业论文是专业学习的综合应用，要求有创新性。在前期分层次的数学实验学习中，学生已培养起初步的综合性能力，在毕业论文写作期间可以发挥创造性，独立运用数学实验能力解决论文或设计中的问题。

(七)课程考核

实验课程考核围绕课程理论的应用及自主动手能力进行。实验课程考核主要以实验项目报告为依据，每个实验项目都设置了考察点，从数学理论的理解、建模、编程求解等方面考察，另外实验报告的排版及其整体的美观性也是考察之一。设计性、综合性实验以小组考察为主，每组2-3人。一般实验课程的考核占到本门课程总成绩的10%。毕业论文实践性是考察有无实际意义的主要指标。

三、《高等代数》实验课教学实例

高等代数是一门专业基础课，其在实际生产生活中应用广泛。围绕以培养学生解决问题的能力为重点，以问题为载体,以计算机为手段,以数学软件为工具,以学生为主体开展高等代数实验教学。

表2 高等代数实验内容

(一)基础性实验

1.大量的验证计算

矩阵在高等代数中有着特殊的地位和作用，矩阵的众多运算，如加减法、乘法、转置、逆矩阵、行列式、秩、特征值等相关的知识基本构成高等代数内容的骨架和血肉。Matlab 数学软件有强大的矩阵运算功能，如多项式的相关运算(尤其是多项式的求根)、计算行列式、解方程组、求特征值与特征向量、求矩阵的若尔当标准形、化二次型为标准形等可以作为验证性实验内容。

教学案例1：讲行列式的计算时，由于行列式的计算比较困难，需要很强的技巧性，而且计算量也大，通过命令det( )很方便得出结果。

教学案例2：讲矩阵秩的计算时，需利用矩阵的初等变换把该矩阵阶梯化才可求其秩，通过命令rank( )很方便得出结果，并且还可以通过矩阵的秩进一步判断向量组的线性相关性。

2.抽象问题直观化

高等代数具有高度抽象性使得学生学起来非常吃力。面对高度抽象的知识，除了帮助学生找到丰富的直观背景外，还可以通过数学实验，将诸多抽象的问题直观化。如，在线性空间与线性变换学习中，要求学生利用数学软件，对向量的坐标与夹角、向量的线性变换等进行演示，便于学生理解，也可激发学生的学习积极性。

实验过程：

x=[0 1 1 0;0 0 1 1]；

subplot(2,3,1),fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r')

A1=[-1,0;0,1],y1=A1*x；

subplot(2,3,2),fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')

A2=[1.5,0;0,1],y2=A2*x；

subplot(2,3,3),fill([y2(1,:),0],[y2(2,:),0],'g')

A3=[1,0;0,1.5],y3=A3*x；

subplot(2,3,4),fill([y3(1,:),0],[y3(2,:),0],'g')

A4=[1,0.5;0,1],y4=A4*x；

subplot(2,3,5),fill([y4(1,:),0],[y4(2,:),0],'g')

t=pi/6

A5=[cos(t),sin(t)；-sin(t),cos(t)],y5=A5*x；(%t为逆时针旋转的角度)

subplot(2,3,6),fill([y5(1,:),0],[y5(2,:),0],'g')

实验结果如图3.

图3 案例3实验结果

3.知识点融会贯通

利用Matlab的绘图功能，能清楚描绘各种图形，利用它可以将数学知识点融会贯通。如，将二次型化为标准形的过程，其实质就是利用坐标变换，将解析几何中所涉及的一般二次曲面方程化为标准形，这也是二次型的几何意义所在。为此，在进行高等代数实验时，首先绘出一般二次曲面的三维图形；其次，绘出该二次型标准形所表示的二次曲面的三维图形；最后，通过形象的对比、分析新旧二次曲面三维图形的联系与区别。这样，不仅可以将学生所学知识点得到验证，而且也能与解析几何所学知识相结合，很好地做到了知识点的融会贯通。

教学案例4：作二次型z=x2-8xy-5y2与其标准形z=-7x2+3y2的三维图形

实验过程：

clf,clear

x=-5:0.1:5;

y=-5:0.1:5;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=X.^2-8*X*Y-5*Y.^2;(%作z=x2-8xy-5y2的三维图形)

Z=X.^2-Y.^2;(%作z=-7x2+3y2的三维图形)

mesh(X,Y,Z);

实验结果如图4和图5.

(二)综合性实验

综合性实验是指实验内容涉及本课程的综合知识或相关课程知识，通过运用综合实验方法、实验手段，对学生实验技能进行的综合训练，培养学生的综合分析能力、实验动手能力、数据处理以及查阅资料的能力。

图4 z=x2-8xy-5y2的三维图

图5 z=-7x2+3y2的三维图

1.数学建模思想渗透

数学模型是数学知识的载体，把数学建模的思想渗透到高等代数实验的教学中，可将所学高等代数知识与实际问题有机地结合，达到理论与实践的统一。培养学生应用数学知识建立数学模型，解决实际问题的能力。

2.教学方法

实验教学是培养学生数学建模的一个重要手段，教师引导学生从现实生活中抽象出数学问题，再运用高等代数以及其它学科的相关理论知识建立数学模型，并通过数学软件对该模型进行求解与结果的验证，最终又将该结果应用到实践中去。

教学案例5：随着信息技术的迅猛发展，信息安全得到了更多的关注。利用矩阵进行加密是信息编码的技巧,请同学们自己写出明文(至少包含20个字母)，通过密钥矩阵，利用矩阵的运算对其进行加密与解密。

教学案例6：根据吕梁学院数学系2013级专业人才培养模式(2+1+1模式)，要求学生在第三学年根据兴趣和志愿分流为基础数学、数学教育、应用统计、信息安全、计算数学、软件设计几个方向，请学生依据自己的学习基础、奋斗目标等至少拟定3个选择准则，为自己选择一个合适的学习方向。

在这两个实验中，学生需要分析问题—建立模型—解决问题。这两个实验中，综合应用了矩阵运算、特征值、特征向量、层次分析等不少数学理论知识。

(三)创新性实践

实验课上，老师不给现成的结论，而是根据学生所掌握的基础知识、数学思想的发展等，创造问题情景，让学生进行大量的图形观察、实际问题分析，从直观想象进入到发现、猜想和归纳，然后进行验证及理论证明。学生通过自己的探索实践对数学现象进行认真观察、研究分析，从中发现问题并解决问题，在观察—分析—解决问题的过程中，尝试着用所学数学知识对这些问题进行解决与修正。鼓励并帮助学生组团申报“大学生创新创业训练计划项目”，无论这些创新点是做成毕业论文，还是申报成大学生创新项目，都可以使他们感觉到学有所得，体会到数学的魅力，激发用所学知识解决实际问题的学习兴趣。

教学案例7：在综合性实验中，对矩阵加密同学们想法很多。如改变密钥矩阵、利用矩阵的其它运算加密、利用高等代数中化二次型为标准形的方法加密、利用向量内外积加密等等。源于同学们的这些想法，曾指导学生把“化二次型为标准形的方法加密”这一创新想法写成了一篇毕业论文，把“利用向量内外积加密”这一创新想法申报成了省级的大学生创新项目。

高等代数中基础验证性实验简单、易操作，综合性实验运用数学建模的思想方法对实际问题建模求解，创新性实验发挥学生的主观能动性，力求创新。实验教学整体设计做到抽象与具体、理论与实践的统一，达到了课程大纲教学目标。

四、结语

数学实验可以将数学抽象问题直观化，数学建模思想融入数学实验教学是其着力点。随着人工智能、虚拟现实技术的发展，数学实验课程的改革将是长期的，实验项目内容的不断更新将使得数学教学内容越来越丰富。

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