极限教学的方法研究

许亚鹏

(山西职业技术学院，山西 太原 030006)

一、极限在高等数学中的地位

极限是高等数学中一个极其重要的概念，是高等数学中微分学和积分学的理论基础。高等数学的研究对象是函数，而研究方法却是极限，极限和极限的思想贯穿了微积分的始终。导数定义和积分定义都是建立在极限概念基础上的。极限能够反映事物变量与已知量的无限接近，利用已知量可对变量的终极值进行反映。微积分的形成是人们深入理解极限思想的重要产物。高等数学之所以让很多学生感到难以掌握和理解，根本原因是对极限的含义及计算没有掌握，因此，正确理解和掌握极限的概念及计算是学好高等数学的关键。所以，作为教师非常有必要对函数的极限的教学作深入的思考和研究。

二、极限教学方法研究

(一)通过实例认识极限

极限的定义较为抽象，是公认的难点。对于数学基础薄弱的高职学生来说，理解函数极限的分析性定义无疑是很困难的。学生的认识模式还处于初等数学学习的认识模式，而认识极限概念需要学生的认识模式从有限向无限转变。直接进行内容讲解，学生很难真正理解。因此教师应适当选取一些生活中常见的实例，激发学生探究的兴趣。弱化极限分析形式的定义，适当采用通俗易懂的语言让学生理解极限的内涵，接受简单而特殊的函数即数列极限的描述性定义。

如用《庄子.天下篇》中的“一尺之锤，日去其半，万世不竭”和古代数学家刘徽的割圆术思想，可以使学生对极限的思想形成感性认识，进而深刻理解极限思想。

再如，通过对下列三个无穷数列{an}进行观察，并自主探究当项数n无限增大时，项的变化趋势。

通过对上述三个数列的观察，让学生用自己的语言进行归纳，得出：数列的项an随着项数n的无限增大在向一个确定的常数无限接近。通过学生的回答教师进行归纳性的总结，很自然地引出数列极限的描述性定义：如果当n无限增大时，数列an能够无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做数列an的极限。使得学生对数列极限的定义从感性认识逐步上升到理性认识。

在学生理解并掌握了数列极限的定义之后，再来学习一般函数的极限，通过二者的区别与联系,使学生真正掌握极限的内涵。这种先易后难，循序渐进的学习模式，符合高职学生的认识规律。

(二)渗透数学文化，提升学习极限的兴趣

大部分高职学生缺乏学习数学的自信，缺乏学习的主动性，甚至对于学习数学有一种抗拒心理。在这种情形下，对于他们来说学习衔接性很强的高等数学是比较困难的。函数极限作为高等数学课程中第一节的内容，提升学生的兴趣，使学生更好地掌握极限的内容尤为关键。

如引入斐波那契数列讲解数列极限，可以极大地提升学生学习热情和学习主动性。同时对学生进行数学文化的渗透，使学生不仅掌握了数学知识，更培养和提升了学生的数学素养。

再如，在极限教学中邀请学生参与互动游戏：十秒加数。游戏要求学生在十秒之内将以下两组数的数字求和完成。

1+2+2+4+7+13+21+34+55+89=

34+44+89+144+233+377+610+987+1597=

学生对该游戏表现出浓厚的兴趣，积极参与。在进行完该游戏后，请学生思考这些数字有什么规律，分组讨论，合作探究，旨在培养学生的观察问题、分析问题的能力。在学生讨论后教师对题目中的数字进行讲解，加深学生对斐波那契数的理解。

通过该部分内容的学习，使得同学们深刻地领悟到了数学来源于生活，而又服务于生活，数学与人类的生活密切相关，这种生活中的数学能极大地提升学生学习数学的积极性。

在高等数学的教学中，数学文化的学习，数学素养的提升是其中的重要方面。数学素养可以训练并提升学生的逻辑思维能力，使他们在遇到纷繁复杂的工作时，能够思路清晰、条理分明，有条不紊地完成；同时也可以培养学生的抽象思维能力，面对生活中错综复杂的事情，能抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，高效解决问题；还有助于培养学生认真细致、一丝不苟的习惯。

(三)借助数学软件，突破极限教学难点

通过对图形的分析，使学生能形象直观地观察到当自变量无限趋近于0时，函数值在无限地向常数1逼近。

通过数学软件，可以让学生高效地学习高等数学，同时学生在对数学软件的应用和探索中获得专业所需要的数学基础知识。将数学软件引入高职数学课堂教学，不仅是教学改革的需要，也是适应高职院校培养目标的需要，是培养学生分析问题，观察问题，解决问题的能力以及应用数学知识解决实际问题的尝试。数学软件在高职数学课堂的应用能够增强学习数学的兴趣，丰富和加深对数学本质的认识，促进数学学习价值观的转变，不再认为数学是一门枯燥无味的课程。使学生能够深切感受数学的无穷魅力。

(四)认真分析，掌握函数极限的求法

极限的计算对于大部分高职学生来说也是一个难点，因此教师有必要对函数极限的求法进行探讨。求函数极限的方法虽然较多，但各有其相应的适用范围。对于某个具体的函数求极限问题，我们需采用合适的方法去解题。下面是一些求函数极限的常用方法。

(1)能代则代

当所求函数极限式的分子和分母的极限不同时为零或不同时为∞，则可以直接利用极限的四则运算法则后，直接代入求出极限。

所以可以采用能代则代这种求极限的方法。

(2)分子、分母约去非零因子

分子、分母约去非零因子，此法适合于自变量在某一趋向下分子、分母的极限同时为0的情形。

分析：因为当x→1时，分子、分母的极限都是0，不能直接使用商的极限运算法则。

=2

(3)分母有理化

(4)无穷小量分出法

适用于分子、分母是x的一元高次多项式，且分子、分母的极限同时为∞。

分析：所给函数中，注意到当x→∞时，分子、分母也同时趋于无穷大，不能直接应用商的极限运算法则，因此，需首先对函数进行初等变形，即分子、分母同时除以x的最高次幂，可以将无穷小量分出来，然后再根据极限运算法则求出极限。

上述归纳了函数极限的一些常用求解方法，在做题的过程中，学生应首先观察函数极限的特点，然后根据不同的情况采取不同的方法，函数极限的求解方法还有很多，要求学生在学习中逐步探索，不断完善。

总之，为了调动学生学习数学的积极性。首先，教师应该根据函数极限与学生所学专业以及现实生活，选取一些学生比较感兴趣的话题进行课题切入，提高学生对教学内容的兴趣；其次，教师应该对课堂教学环节进行合理的设置，鼓励学生勤于思考，主动学习；最后，教师应该对课堂中的小组讨论和总结，进行必要的掌控，尽量让每一个同学都参与进来，并对学生的参与进行及时的鼓励。

[1]江涛.浅谈数列极限的计算方法[J].科技信息.

[2]新编高等数学(理工类)[M].北京：北京交通大学出版社，2015.

[3]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].上海：高等教育出版社，2001.

[4]张韵华,王新茂.Mathematica7实用教程[M].中国科学技术大学出版社，2011.