脉冲微分方程Neumann 边值问题多解的存在性

周君君

(信阳学院数学与信息学院， 河南信阳 464000)

脉冲微分方程Neumann 边值问题多解的存在性

周君君

(信阳学院数学与信息学院， 河南信阳 464000)

本文通过变分法和临界点理论讨论了脉冲微分方程Neumann边值问题无穷多个解的存在性．

脉冲微分方程；Neumann边值条件；变分法；临界点理论

0 引言

脉冲微分方程普通存在于自然界中， 能够充分考虑时突对状态的影响， 能更精准反应事物的变化规律.对脉冲微分方程的研究方法主要有不动点定理、上下解结合单调迭代技巧、拓扑度理论和变分法[1， 3-6]， 在文献[4]中， 作者研究了如下的脉冲微分方程Neumann 边值.

(1)

这里0=t0

作者利用变分法研究了非线性项g为超线性时， 系统解多解的存在性．受相关文献的启发， 本文考虑了非线性项g为渐进线性的情形， 得到了不同于文献[4]的结果.

1 准备工作

设L(t)=∫0t(r(s)/p(s))ds， 则e-L(t)∈C1([0,1]).我们可将问题(1)转化为其等价形式：

(2)

显然(2)的解就是(1)的解.

定义空间X=W1,2([0,1])， 定义范数

定义泛函

(3)

显然φ∈C1(W1,2([0,1]),R)， 且

(4)

对于任意的u,v∈W1,2([0,1]).

定义 设E是一个自反的Banach空间， 且φ∈C1(E,R).若对于任意的{φ(uk)}有界且φ′(uk)→0(k→∞)的序列{uk}⊂E都有一个收敛子列.我们称φ满足Palais-Smale条件(简记为P.S.条件).

定理1[2]E是一个有限维的实Banach空间，f∶E→R是一个连续可微的偶泛函， 并且它是满足P.S.条件， 且下面的条件成立:

(A2) 对于E中的任意的有限维子空间， 集合V∩f(0)是有界的，

则f有无穷多个临界点.

引理1[4]若u∈X是泛函φ的一个临界点， 则u是问题(2)的一个古典解.

引理2[4]若u∈W1,2([0,1])， 则存在常数C>0， 使得‖u‖∞≤C‖u‖.

2 主要结果及证明

(H1) 对于任意的k=1,2,...,m-1， Ik是奇函数， 且满足∫0sIk(t)dt≤0,∀s∈R.

(H2) 存在常数ak,bk>0， (k=1,2,...,m-1)和rk∈[0,1)使得 |Ik(s)|≤ak+bk|s|rk，∀s∈R.

定理2 假设系统(2)满足(H1)-(H3)， 则该系统有无穷多个解.

证明 显然， 由(3)， (H1)及(H3)可知φ(u)是个偶泛函， 且φ(0)=0.我们首先来证明φ满足

下面用反证法证明{un}在W1,2[(0,1)]中是有界的.假设{un}是W1,2[(0,1)]中的一个无界的序列， 不妨设‖un‖→∞,n→∞， 由(3)， (H)， (H3)和引理(2)知

(5)

其中M=maxt∈[0,1]e-L(t)．所以存在N0>1使得当n≥N0时， 有

充分小， 我们可以说对于每一个固定的正整数n， 存在C1(n)>0， 使得

∫01e-L(t)ζ|un(t)|2dt≥C1(n)ζ‖un‖2.

(6)

(7)

由(H3)， (5)， (6)表明了

(8)

由(4)知

(9)

由(8)和(9)知， 当n→∞时， 有un→u,因此φ满足P.S.条件.

由(4)， (H1)， (H3)知

这表明了

再结合(H3),(7)可得

[1]NietoJJ,O’ReganO.Variationalapproachtoimpulsivedifferentialequations[J]．NonlinearAnalysisRealWorldApplications, 2009, 10(2)：680-690.

[2] 郭大均．非线性泛函分析[M].济南:山东科技技术出版社， 2004．

[3]XiaoJ,NietoJJ.VariationalapproachtosomedampedDirichletnonlinearimpulsivedifferentialequations[J].JournaloftheFranklinInstitute, 2011, 348(2): 369-377.

[4]SunJT,ChenHB.VariationalMethodtotheImpulsiveEquationwithNeumannBoundaryConditions[J].BoundaryValueProblems, 2009(1): 1-17.

[5]TianY,GeWG.VariationalmethodstoSturm-Liouvilleboundaryvalueproblemforimpulsivedifferentialequations[J].NonlinearAnalTMA, 2010, 72(1): 277-287.

[6]ZhangZH，YuanR.AnapplicationofvariationalmethodstoDirichletboundaryvalueproblemwithImpulsive.NonlinearAnalRWA, 2010, 11(1), 155-162.

[责任编辑 胡廷锋]

The Existence of Multiplicity of Solutions for Impulsive Differential Equations with Neumann Boundary Conditions

ZHOU Jun-jun

(School of Mathematics and Information, Xinyang University, Xinyang 464000, China)

This paper discusses the existence and multiplicity of solutions for impulsive differential equations by using the critical point theorem and variational methods．

impulsive differential equations; Neumann boundary conditions; variational methods; critical point theory

2016-11-21

周君君(1988—)， 女， 河南信阳人， 硕士， 助教. 研究方向： 微分方程与动力系统.

O175．8

A

1009-4970(2017)02-0015-04