极限平衡理论下边坡稳定性抗滑强度参数反演分析

邓东平，李 亮，赵炼恒

(中南大学 土木工程学院，长沙 410075)

极限平衡理论下边坡稳定性抗滑强度参数反演分析

邓东平，李 亮，赵炼恒

(中南大学 土木工程学院，长沙 410075)

抗滑强度参数的取值对正确评估边坡稳定性有着重要影响，而参数反演是快速准确获取边坡抗滑强度参数的一种有效方法。基于边坡稳定性分析结果和滑动面抗滑强度参数与临界滑动面一一对应的关系，建立抗滑强度参数与边坡安全系数之间2个特定关系式；由此，在给定临界滑动面的安全系数或某一强度参数时，即可求解反演结果。为了便于计算，考虑多种因素影响，采用极限平衡瑞典法进行稳定性分析，并基于临界圆弧滑动面的判别，推导出参数反演的显示表达式。经算例对比分析，验证了该方法的可行性，且简单适用。同时，参数影响研究分析表明，临界滑动面上的监测点位间距越大，其点位位置误差对反演强度参数的影响越小。最后，将方法应用于工程实例当中，说明了该方法的实用性。

临界滑动面；安全系数；边坡稳定性；强度；参数反演；极限平衡

1 研究背景

边坡稳定性分析中，岩土体抗滑强度参数是必不可少的数据[1-4]。为了获得岩土体抗滑强度参数值，通常可采取现场试验、室内实验和参数反演等方法[5-9]。上述方法中，现场试验和室内实验方法存在一些不足，如现场试验法所需经费多、试验周期长及取值难等问题。对于室内实验法，其取样存在随机性，且取样时易造成岩土体的扰动以致直接影响试验数据的代表性。然而，利用参数反演法获得的边坡抗滑强度参数可靠、经济合理[10-14]，且简单可行，故该方法被前人广泛应用。采用参数反演法对边坡抗滑强度参数进行分析，需满足如下条件：①易于判断边坡滑动面，且此滑动面为边坡临界滑动面；②给定滑动面对应的安全系数能被确定。

基于极限平衡理论对边坡稳定性抗滑强度参数进行反分析，研究者已做出一系列研究[2]，如有学者提出在失稳边坡的滑动体内任取2个平行于主滑动方向的二维滑动面，然后，对此2个二维滑动面进行稳定性分析，由此得到抗滑强度参数(黏聚力c与内摩擦角φ)的2条关系曲线，进而通过求解这2条关系曲线的交点来获取反演强度参数结果。然而，该方法仅当所取2个二维滑动面的性质相同时，其所得交点才较为可靠。另外，Jiang[15-16]利用临界圆弧滑动面位置与抗滑强度参数之间存在的特定关系，绘制出一系列实用的强度参数反演图表，但该图表对边坡问题的复杂性考虑不足。

给定边坡滑动面对边坡强度参数进行反演，可利用边坡稳定性极限平衡解答获得抗滑强度参数之间满足的一个关系式。然而，求解2个反演强度参数需2个方程。因此，强度参数之间的另一关系式需被建立。由给定滑动面为临界滑动面这个条件，可知仅当反演强度参数与边坡真实强度参数一致时，采用反演强度参数分析得到的临界滑动面与给定边坡滑动面最为接近，由此便建立抗滑强度参数反演的另一关系式。

前述分析建立了抗滑强度参数之间的2个关系式，由此构成本文边坡稳定性抗滑强度参数反演的理论基础。为了便于计算，瑞典法被采用对边坡进行稳定性分析，然后，基于临界圆弧滑动的判别，推导出抗滑强度参数反演的显式计算公式。经算例对比分析，验证了本文方法的可行性。同时，通过参数分析研究临界滑动面上监测点位误差对反演参数的影响。最后，将本文方法应用于工程实例中，说明该方法的实用性。

2 边坡稳定性抗滑强度参数反演基本理论

2.1 基本理论

极限平衡理论下的边坡抗滑强度参数反演基本方法如下所述。

(1) 由边坡稳定性计算方法获得给定滑动面下边坡安全系数与抗滑强度参数的一个关系式。

(2) 基于(1)中边坡安全系数与抗滑强度参数的关系式，选择满足此关系的一系列强度参数组合，从而利用此系列的强度参数组合重新计算边坡稳定性，并得到2条曲线。其中：曲线1为给定滑动面的安全系数与强度参数的变化曲线；曲线2为利用强度参数组合计算临界滑动面的边坡安全系数(即最小边坡安全系数)与强度参数的变化曲线。

(3) 由(2)中的2条曲线之间的关系可知，当此系列强度参数组合与真实的强度参数组合最为接近时，由强度参数组合搜索得到的临界滑动面与给定滑动面最为接近，即表现为曲线1和曲线2的斜率相等。

(4) 将(2)中的曲线2采用简单的一元多次方程拟合，由其与曲线1的斜率相等即可建立安全系数与抗滑强度参数的另一关系式。

(5) 基于(1)和(4)中安全系数与抗滑强度参数的2个关系式，当给定临界滑动的安全系数或边坡的某一强度参数已知时，即可求解另外2个参数。

需说明的是，实际工程中，对边坡进行抗滑强度参数反演时，一般认为该边坡已发生滑动或存在滑动趋势，并假设此时边坡的安全系数为1。然而，实际发生滑动的边坡其安全系数可能<1，而存在滑动趋势的边坡其安全系数可能>1，且安全系数的大小也受到其他外部因素的影响。因此，传统方法以边坡安全系数为1对抗滑强度参数进行反演存在一定的不足。在此，本文考虑当滑动面上岩土体的某一抗滑强度参数已确定时，对另一抗滑强度参数和边坡的安全系数进行反演。同时，尽管本文方法最适用于反演均质边坡的抗滑强度参数，但同样可对非均质边坡的综合强度参数进行分析。

2.2 临界滑动面判别与分析

圆弧作为实际滑动面的一种简化型式，已在实际工程中广泛使用，并被前人验证其不仅在均质边坡中是可行的，在非均质土质边坡中也可适用。根据前述分析，本文的研究成果主要应用于类均质边坡，故在此假定边坡的临界滑动面近似为圆弧。对于圆弧滑动面，若确定其上的3个点，即点s1(x1,y1)，s2(x2,y2)，s3(x3,y3)，便可根据圆弧方程解得圆弧滑动面的圆心坐标(xc，yc)和半径R，进而确定圆弧滑动面的形状和位置。

另外，实际工程中，为了判别临界滑动面的位置，采用不同方法(如勘察和边坡深部位移监测)获得临界滑动面上的点位基本多于3个，即为有一系列的点位，此时可采用曲线拟合的方法来获得边坡临界滑动圆弧的圆心坐标(xc，yc)和半径R。

2.3 边坡稳定性分析

图1为边坡稳定性分析计算模型。

图1 边坡稳定性分析计算模型Fig.1 Calculation models of slope stability analysis

当考虑外界振动作用(或地震作用)时，采用拟静力法进行计算，将其分解为水平和竖直2个方向力，大小采用水平和竖直向作用系数kH和kV与坡体重力的乘积来表示，其中，当振动(或地震)水平力指向坡外方向时kH为正值，当振动(或地震)竖直力与坡体重力方向相反时kV为正值。

如图1(b)所示，取一般情况下微单元土条abcd进行受力分析，作用其上的力有：重力dW、水平振动力(或地震力)kHdW、竖直振动力(或地震力)kVdW、渗透力dJ、滑动底面剪切力dS和法向力dN。α为滑动底面倾角，θ为浸润线倾角。采用以土骨架为分析对象，则可得整个滑动体上的滑动力dT和抗滑力dR的微单元计算式分别为：

dT=kHcosαdW+

(1)

(2)

式中：c为土的黏聚力；φ为土的内摩擦角。

微单元土条中重力dW和渗透力dJ的计算分别为：

(3)

(4)

式中：λ1=γ′/γ；λ2=γw/γ；γ′为土的浮重度；γ为土的天然重度；γw为水的重度，dx为微单元土条宽度，h1为浸润线到滑动底面的竖直距离，h2为坡面线到浸润线的竖直距离。

对于h1和h2，其计算分别为：

(5)

(6)

式中：y1为坡面线方程；y2为浸润线方程；yx为滑动圆弧方程。

当土条i边界的x轴范围为 (xi-1,xi)时，y1，y2，yx的计算分别为：

(7)

(8)

(9)

为了能表示安全系数与抗滑强度参数的简单关系，采用瑞典法对边坡稳定性进行分析，其安全系数的计算公式为

(10)

式中I1，I2，I3为计算参量。

将sinα= (x-xc)/R和cosα=(yc-yx)/R代入式(1)和式(2)中，并联合式(3)和式(4)，可得I1，I2，I3的计算分别为：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：A，B，C，a11，a12，a13，b11，b12，s11，s12，s13，a21，a22，a23，b21，b22，s21，s22和s23均为计算参数，其中，aij(i= 1, 2和j= 1, 2, 3),bij(i= 1, 2和j= 1, 2)和sij(i= 1, 2和j= 1, 2, 3)的计算公式见表1。

上述计算公式是在一般情况下根据土条受力所推导而得。然而，滑动体内土条划分可存在如下4种情形：①土条完全处于水位以下，且无渗流力作用；②土条完全处于水位线以上，且无渗流力作用；③土条部分处于水位线以上，且有渗流力作用；④土条部分处于水位线以上，且无渗流力作用。由此，根据划分土条所处的这4种不同情形，式(9)中参数存在不同计算取值，并作如下规定：

(2) 对于情形③和④，式(9)中各参数不变。

2.4 边坡稳定性抗滑强度参数反演

边坡抗滑强度参数反演模型有2种模式，如图2所示。

表1 参数计算Table 1 Calculation formulas for parameters

图2 边坡抗滑强度参数反演模型Fig.2 Models of back analysis of slope’s anti-slide strength parameters

2.4.1 参数反演模式1

反演边坡稳定性抗滑强度参数，根据前述可知，边坡滑动面及其对应的安全系数Fs已知。由式(10)可得满足该滑动面上安全系数为Fs的一系列c和φ组合，为了便于表示，采用无量纲参数c/γH和tanφ表达此关系，即

(21)

前述分析表明，由式(21)得到的一系列c和φ组合仅有一组满足其搜索得的临界滑动面与所给定滑动面一致，而其他组合则不满足，即其他组合搜索得临界滑动面的边坡安全系数(即最小边坡安全系数)均小于此定值Fs。因此，当取满足式(10)的若干强度参数组合来计算边坡最小安全系数时，表现为如图2(a)所示性质，即仅当满足搜索得的临界滑动与所给定滑动面一致时，则该组c和φ所计算得的边坡最小安全系数最大。

根据上述分析，选取一定范围内的内摩擦角φ，由式(21)获得相应的黏聚力c。然后，由这些不同c和φ组合计算最小边坡安全系数，并采用一元多次方程对该曲线进行拟合，其拟合关系式为

f=a0+a1tanφ+a2tan2φ+a3tan3tanφ。

(22)

式中：f为安全系数；a0，a1，a2，a3均为拟合参数。由后续算例表明采用该式对图2曲线进行拟合的线性关系R2均>0.99。

在式(22)中令df/dtanφ= 0，则可得到模式一下边坡抗滑强度参数反演的第2个关系式，结合第1个关系式(即式(10))，从而解得参数反演结果，即黏聚力c和内摩擦角φ。

2.4.2 参数反演模式2

如前所述，考虑到理论模型与实际模型的差别，若给定滑动面的某一强度参数已知，则仍可通过式(10)来反算另一强度参数和该滑动面相对应的边坡安全系数Fs。同样，对式(10)转换形式，采用无纲量参数c/γH和tanφ表达此关系，即

(23)

式(23)表明给定滑动面的边坡安全系数与抗滑强度参数成线性关系。同样，可知若选取的强度参数搜索得的临界滑动面与给定滑动面不一致时，则该强度参数搜索得临界滑动面的边坡安全系数(即最小边坡安全系数)要小于式(23)计算得的边坡安全系数，表现为如图2(b)所示性质，即仅当强度参数取值使搜索得的临界滑动面与给定滑动面一致时，其计算得的最小边坡安全系数与式(10)所得的安全系数最为接近。

由上述分析，选取一定范围内的强度参数，计算不同强度参数所得最小边坡安全系数，并同样采用式(22)对该曲线进行拟合。当在式(22)中令df/dtanφ=I2/I3或df/d(c/γH) = (I1/I3)H时，则可得到模式2下边坡抗滑强度参数反演的第2个关系式，结合第1个关系式(即式(10))，从而解得参数反演结果，即另一反演强度参数和给定滑动面的边坡安全系数。

3 计算对比分析

3.1 算例验证

算例1[17]：如图3(a)所示，边坡坡高H=20 m，坡角β=45°，土的天然重度γ=25 kN/m3，文献中给定黏聚力c=42 kPa，内摩擦角φ=17°。以坡脚点为原点建立xoy轴坐标系，边坡的临界圆弧滑动面圆心坐标为(-0.480 m，28.840 m)，半径R=28.840 m，对应的安全系数Fs=1.062。

算例2[18]：如图3(b)所示，边坡坡高H=15 m，坡面由5段折线组成，其中，h1=3 m和β1=60°，h2=3 m和β2=50°，h3=3 m和β3=40°，h4=3 m和β4=30°，h5=3 m和β5=20°；土的天然重度γ=18.0 kN/m3；水平向地震作用系数kH=0.0，竖直向地震作用系数kV=0.3；文献中给定黏聚力c=26 kPa，内摩擦角φ=20°。以坡脚点为原点建立xy轴坐标系，边坡的临界圆弧滑动面圆心坐标为(-0.284 m，25.098 m)，半径R=28.840 m，对应的安全系数Fs=1.627。

图3 边坡算例模型Fig.3 Models of slope examples

算例3[19]：如图3(c)所示，2个台阶型边坡参数坡高H1=6 m，坡角β1=60°，台阶宽B1=2 m；坡高H2=4 m，坡角β2=45°，台阶宽B2=2 m；坡高H3=2 m，坡角β3=30°。土的天然重度γ=17.2 kN/m3，饱和重度γsat=19.2 kN/m3；坡外水位高hs1=3 m；浸润线倾角θ=20°，浸润线最高点到坡顶点的水平距离z=4 m；文献中给定黏聚力c=28.33 kPa，内摩擦角φ=22°。以坡脚点为原点建立xy轴坐标系，边坡的临界圆弧滑动面圆心坐标为(3.009 m，15.918 m)，半径R=16.200 m，对应的安全系数为Fs=1.401。

针对上述3个算例，采用给定边坡滑动面及其对应的安全系数反演强度参数，计算结果见表2。

表2 边坡抗滑强度参数反演结果Table 2 Results of back analysis of slope’s anti-slide strength parameters

由表2可知：各算例中采用本文方法所得反演结果与文献值颇为接近，可说明本文方法的正确性。

3.2 滑动面位置变动对强度参数反演结果影响

如图4所示，边坡坡高H=10 m，坡角β=45°，土的天然重度γ=17.8 kN/m3。临界圆弧滑动面参数由其上的3个监测点按前述方法计算获得，其中，临界圆弧滑动面对应的安全系数Fs=1.000。

图4 临界滑动面上监测点位Fig.4 Monitoring points on critical slip surface

实际工程中，临界滑动面上点位位置的判断可能存在一定的误差，而这些误差将会对反演结果产生影响。为了研究这种影响的大小，令各监测点分别在原位置向上或向下移动△h=0.1 m，由此形成6种情况，如图4所示。

以坡脚点为原点建立xoy轴坐标系，设定这3个监测点s2与s1、s3与s2在x轴上间距s分别为3.0，3.5，4.0，4.5，5.0 m，点s1、点s2和点s3的坐标见表3。

表3 临界滑动面上监测点点位坐标Table 3 Coordinates of monitoring points on critical slip surface m

图6 边坡实例模型Fig.6 Model of slope example

根据前述方法，由表3中不同间距下的临界滑动面监测点位数据所反演得抗滑强度参数结果如图5(a)所示，当监测点分别向上或向下移动△h所产生的6种情况反演得的抗滑强度参数结果如图5(b)和图5(c)所示。

由图5可知： 相比滑动面上的监测点位之间小间距，监测点位大间距时反演得的黏聚力c要小，而反演得的内摩擦角φ要大；滑动面上的监测点位间距较大时，监测点位位置误差影响对反演参数的影响越小。

4 工程实例

如图6所示，某高速公路边坡土的天然重度γ=18.2 kN/m3，饱和重度γsat=21.6 kN/m3，边坡上层为岩土层堆积体，下层为基岩，在岩层与堆积体界面位于坡脚点下方竖直距离h=14.8 m处，岩层倾角δ=15°。该边坡在施工期已发生失稳，通过实测边坡滑动点位和勘探资料，当以坡脚点为原点建立xoy轴坐标系时，拟合得到临界圆弧滑动面圆心坐标为(-149.809 m，1 301.406 m)，半径R=1 310.000 m，临界圆弧滑动面对应的安全系数Fs=1.0。

在采用本文强度参数反演时，由于基岩的强度参数远大于岩土堆积体，故不考虑滑动面会出现在基岩层中。同时，考虑到模型对实际情况的简化，令滑动面的下滑动位于原点上，由此，反演得此边坡的强度参数为：c=16.169 kPa，φ=10.481°。

5 结 论

通过分析给定滑动面时边坡的稳定性，可得边坡抗滑强度参数与给定滑动面对应的安全系数之间的一个关系式。由选取满足该关系式的不同强度参数组合，并以此组合计算临界滑动面对应的最小安全系数。当该组强度参数与真实的强度参数相接近时，计算得的最小安全系与给定滑动面对应的安全系数最为接近，且搜索得到的临界滑动面与给定滑动面基本相同。利用该规律便可得到边坡抗滑强度参数与给定滑动面对应的安全系数之间存在的另一个关系式。在前述2个关系式的基础上，应用极限平衡瑞典法，考虑多种复杂因素，基于临界圆弧滑动面的判别，推导得强度参数反演的显式计算公式，该公式简单实用。经算例对比分析，验证了本文方法的可行性，且经参数分析可得如下结论：

(1) 本文方法不仅适用于强度参数反演，而且当给定滑动面上某一强度参数确定时，可对给定滑动面对应的安全系数进行反演。

(2) 临界滑动面上监测点位的间距越大，则监测点位的位置误差影响对反演强度参数影响不大。

最后，本文方法应用于实际工程算例中，表明了该方法的实用性。

[1] KOJIMA H, OBAYASHI S. An Inverse Analysis of Unobserved Trigger Factor for Slope Stability Evaluation[J]. Computers and Geosciences, 2006, 32(8): 1069-1078.

[2] 石 崇，张 玉，孙怀昆，等. 争岗滑坡堆积体滑面强度参数反演分析[J]. 岩石力学与工程学报，2010，29(增2)：3728-3734.

[3] ZHANG J, TANG W H, ZHANG L M. Efficient Probabilistic Back-analysis of Slope Stability Model Parameters[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2010, 136(1): 99-109.

[4]黄华坚，陈建康，王 东，等. 强度参数对土坡稳定可靠度指标的影响分析[J]. 长江科学院院报，2009，26(4)：27-30.

[5] CHANDLER R J. Back Analysis Techniques for Slope Stabilization Works: A Case Record[J]. Geotechnique, 1977, 27(4): 479-495.

[6] DESCHAMPS R, YANKEY G. Limitations in the Back-analysis of Strength from Failures[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2006, 132(4): 532-536.

[7]PIERNICOLA L, DANIELE G, PAOLO A. The Montaguto Earthflow: A Back-analysis of the Process of Landslide Propagation[J]. Engineering Geology, 2014, 170(20): 66-79.

[8] GILBERT R B, WRIGHT S G, LIEDTKE E. Uncertainty in Back Analysis of Slopes: Kettleman Hills Case History[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 1998, 124(12): 1167-1176.

[9] 周 时，黄宜胜，胡耀普，等. 玛尔挡水电站边坡岩体宏观力学参数优化反演及应用[J]. 长江科学院院报，2014，31 (7)：49-52.

[10]OKUI Y, TOKUNAGA A, SHINJI M,etal. New Back Analysis Method of Slope Stability by Using Field Measurements[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1997, 34(3): 234-249.

[11]ZHANG L L, ZHANG J, ZHANG L M,etal. Back Analysis of Slope Failure with Markov Chain Monte Carlo Simulation[J]. Computers and Geotechnics, 2010, 37(7): 905-912.

[12]WANG L, HWANG J H, LUO Z,etal. Probabilistic Back Analysis of Slope Failure: A Case Study in Taiwan[J]. Computers and Geotechnics, 2013, 51(6): 12-23.

[13]ZHANG J, ZHANG L M, TANG W H. Slope Reliability Analysis Considering Site-specific Performance Information[J]. Journal Geotechnical Geoenvironmental Engineering, 2011, 137(3): 227-238.

[14]SUN Z B, ZHANG D B. Back Analysis for Soil Slope Based on Measuring Inclination Data[J]. Journal of Central South University (English Edition), 2012, 19(11): 3291-3297.

[15]JIANG J C, TAKUO Y. Charts for Estimating Strength Parameters from Slips in Homogeneous Slopes[J]. Computers and Geotechnics, 2006, 33(6): 294-304.

[16]JIANG J C, TAKUO Y. A New Back Analysis of Strength Parameters from Single Slips[J]. Computers and Geotechnics, 2008, 35(2): 286-291.

[17]邓东平，李 亮，赵炼恒. 基于Janbu法的边坡整体稳定性滑动面搜索新方法[J]. 岩土力学，2011，32(3)：891-898.

[18]邓东平，李 亮. 基于滑动面搜索新方法对地震作用下边坡稳定性拟静力分析[J]. 岩石力学与工程学报，2012，31(1)： 86-98.

[19]邓东平，李 亮. 水力条件下具有张裂缝临河边坡稳定性分析[J]. 岩石力学与工程学报，2011，30(9)：1835-1847.

(编辑：姜小兰)

Back Analysis of Anti-slide Strength Parameters of Slope StabilityBased on Limit Equilibrium Theory

DENG Dong-ping, LI Liang, ZHAO Lian-heng

(College of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

The values of anti-slide strength parameters have important influence on the calculation of slope stability, and back analysis is an effective method to obtain the anti-slide strength parameters quickly and accurately. In this article, two specific equations for anti-slide strength parameters and factor of safety are established based on the results of slope stability analysis and the relationship between anti-slide strength parameters and the corresponding critical slip surface. Thus the results of back analysis can be obtained when the factor of safety or a strength parameter is known for the given critical slip surface. For the sake of convenient calculation, the explicit expressions for back analysis of parameters are deduced by adopting the limit equilibrium Swedish method to analyze slope stability in consideration of a variety of factors. Furthermore, the critical slip surface is assumed to be circular and is determined by survey methods. Through comparison with some examples, the correctness of this method is verified. Moreover, researches on the parameter analysis show that the larger spacing of monitoring sites on critical slip surface, the smaller effect of position error of monitoring sites on the inversion result. Application of the present method to engineering example illustrates its practicability.

critical slip surface; factor of safety; slope stability; strength parameters; back analysis; limit equilibrium

2015-12-30；

2016-02-22

国家自然科学基金项目(51608541)；中国博士后科学基金面上项目(2015M580702)；贵州省交通运输厅科技项目(2010-122-020, 2014-122-006)

邓东平(1985-)，男，湖南岳阳人，博士后，从事道路与铁道工程等方面的研究，(电话)13975150476(电子信箱)dengdp851112@126.com。

10.11988/ckyyb.20151127

2017,34(3):67-73，79

TU434

A

1001-5485(2017)03-0067-07