综合题命制：让题干与题肢关联互动——以苏科八上期末把关题为例

☉江苏苏州市苏州高新区第一中学 王锦兵

综合题命制：让题干与题肢关联互动
——以苏科八上期末把关题为例

☉江苏苏州市苏州高新区第一中学 王锦兵

自媒体时代的信息获取之方便超出人们想象，比如，在期末考试之后，各地期末考卷大量出现在网络、各大QQ群共享中，在见到大量简单“拿来主义”“复制粘贴”拼凑起来的试卷之余，也确有不少体现命题者心血的原创作品，一个简单的检测方式就是：将试题中的关键词或关键图片放到相关搜题平台上进行检索，如找不出原题或高度相似题，就可看出命题者的苦心经营与原创倾向.然而命题也是一项遗憾的艺术，有些试题由于追求了原创设计，而缺少深入打磨，使得一些原创的综合题成为一道低层次的拼凑式问题，题干、题肢之间缺少关联互动，使得试题的品质大打折扣.本文就以江苏扬州某地区的八上期末把关题为例，先讲解思路、命题商榷，并跟进变式改编和教学思考，供研讨.

一、考题解析与命题商榷

图1

图2

（1）求直线CD的函数关系式.

（2）连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2.

①求证：∠OEF=45°；

②求点F的坐标.

（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标.

（2）①本质是证明EO平分∠AED.需要先推证出直线AB⊥CD.根据提示OF⊥OE，可证出△BOE≌△DOF，从而证出OE=OF，于是△OEF为等腰直角三角形.问题获解.

另解反思：总题干中旋转前后有△ABO≌△COD，可以发现这两个三角形对应边上的高应该相等，可构造两条垂线段，如图3，作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N.

图3

图4

容易证出OM=ON，所以EO平分∠AED，即∠OEF= 45°.这样可看出来，第（2）问小题干中的OF线条不是必需的，它可以成为一种辅助线.

②直接求点F的坐标比较困难，可以考虑将其转化为先求E点的坐标，点E可看成是直线AB、CD的交点坐标，只要联立两直线方程得到方程组，就可解出点E的坐标；从而再求出F点的坐标.

（3）构造图4分析，点P应该有4个可能的位置，P4与点C重合.在此基础上可求出符合要求的三个点P的坐标.

解后反思：现在可看出本题的问题结构，总题干中提出所谓的直线方程，除了确定A、B点的坐标，渐渐失去活性，接下来的探究与求解多是平面几何问题，这种让题干提前枯萎的命题取向，格局偏低，使得试题成为伪坐标考题，本质上是几何全等构造与证明.以下本着命题的兴趣与爱好，给出一道改编题.

二、改编试题及改编意图

（1）求k的值.

（2）设P为直线CD上一点，Q为x轴上一点，直线AB、CD交于E点.

①当点P在线段CD上，且DP=BE时，求PE的长；

②当△DPQ≌△DOC时，直接写出此时P点到直线AB的距离.

图5

图6

图7

命题立意：（1）让学生根据一次函数的图像与性质有序确认点A、B、C、D的坐标，从而确定另一直线的解析式.

（2）①限制点P在线段CD上，只要考虑一种情况，即与图2中相比，此时点P就是图2中的点F.但考虑到控制一下运算量，只要学生求PE的长（学生还需要想清楚DE⊥AB）.另外，这样设问，还使得解法多样，除了求出点P的坐标再构造直角三角形确定PE的长，几何构造可以更简便地运算.如图6，先想清楚△POD≌△EOB，得出△POE是等腰直角三角形.于是只要能求出直角边OE，就可得到斜边PE的长.当然这样处理可能还是有一定的运算量，因为求OE的长时还需要求E点的坐标.让我们再从另一思路切入，这就是聚焦△COD，作OG⊥CD于点G，可以利用面积法求出OG的长，然后把目光转到△POE中，则PE=2OG，于是问题获得突破，运算量也大大简化.

②这一问与原考题相比，做了一些限制，即原考题最后一问是文字“全等”，而我们要求的是符号“≌”，这样使得两个三角形的对应边得到一些限制，又需要思考点P在直线CD上的两种位置关系.但为了增加解题层次，仍然要求点P到直线AB的距离（这可看成是最后一问与总题干中初始条件之间的关照与呼应，正所谓“不忘初心”）.思维深刻的考生可以构造出简洁的求法，如图7，关键是求出DP的长度（注意对应PD= OD=4），难算的是DE的长，八年级学生从勾股定理角度需要消耗一些运算时间，比如，先求出点E的坐标，再在△AED中思考.其实从九年级相似三角形或锐角三角函数的角度，就可快速解出DE的长（比如，利用cos∠CDO=.待求的点P到直线AB的距离是DE±DP.

三、进一步的思考

1.综合题命题要追求简约、关联，让题干、题肢关联互动.

数学考卷非常重视解答题的设计与设问，特别是全卷最后位置的把关题更是倾注了命题者的心血.常常苦心经营，构思命题考查知识点、方法，还要思考教学上的引领意义.这里主要探讨综合题命制的简约与关联追求，题意表述要清楚、指令清楚，初始条件和图形要好懂，不故弄玄虚，或一大堆条件都“和盘托出”，最好渐次呈现、拓展生长，把学生思考逐渐引向深远.从这个角度看，原考题（2）小题干中OF⊥OE这个条件就可后置到研究F的坐标时再呈现，因为这个条件使得命题的格局下降，影响或封闭了优秀学生可能的其他思考，不符合数学追求开放、自由的探究价值.

2.综合题命题要预设解法，既殊途同归，又有简化解法.

由于综合题是数学解答题的范畴，目前有些综合题的小问设计，不少命题组采取了直接填答案的方式，背后往往有很多“难言之隐”，一个不好的现象是命题者自己往往也找不到好的、简洁的求证方式，故为了减少学生所谓的运算量、推理表达的过程，只好退一步让学生直接写答案，这是让人遗憾的命题行为.我们认为，提出问题固然不容易，但当提出一个有挑战的考题之后，预设解法就成为一个重要的课题，有时如果这个有挑战的问题命题人自己也难以自圆其说给出有力量的、简洁的解答，则宁可忍痛割爱，放弃在试卷上呈现这类问题为宜，因为尽管是我们命题过程中的成果，但并不一定自己深入思考的所得都要搬到试卷上.想来，这也就是所谓命题要追求“内敛藏锋”的道理吧.

1.孟慧.几何综合题研究：从思路贯通到教学微设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

2.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.

3.孙莉.思路生成贵在自然，一题一课追求简约——一道考题的思路突破与习题课设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

4.吴忠妙.一道考题的思路、难点与教学设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

5.夏德祥.繁简难易：中考把关题的命题研讨——以2016年江苏扬州中考卷第28题为例［J］.中学数学（下），2016（7）.