一类具有阶段结构和HollingⅢ类功能反应的捕食系统的一致持久性

野金花，朱焕

（黑龙江八一农垦大学理学院，大庆 163319）

一类具有阶段结构和HollingⅢ类功能反应的捕食系统的一致持久性

野金花，朱焕

（黑龙江八一农垦大学理学院，大庆 163319）

研究了一类具有阶段结构和HollingⅢ类功能反应函数的捕食系统，其中捕食者分为幼年和成年两个阶段。利用比较原理和构造Liapunov函数分方法给出了系统为一致持久的充分条件。

阶段结构；功能反应；捕食系统；一致持久

种群的持续生存性是种群动力系统研究的一个根本的问题。面对生态学中复杂的种群关系，以及种群中往往会没有稳定的平衡点等情况，允许系统在一定范围内波动的持续生存性质变得越来越重要。

另一方面，阶段结构种群系统和具有及功能反应函数的种群系统的一致持久性问题研究已有许多成果[1-6]。在自然界中，种群的增长常有一个生长发育的过程，在不同的成长阶段都会表现出不同特征，如幼年种群较成年种群而言不具备生育能力、捕食能力，生存能力较弱。也就是说，种群在各个生命阶段生理差别较为显著。因此，在研究种群间相互作用时，考虑到阶段结构的影响是非常有意义的。

1模型建立

近年来，同时考虑了具有HollingⅢ类功能反应函数和阶段结构的捕食系统，将捕食者分为成年和幼年两个阶段，只有成年捕食者才具备捕食食饵的能力。模型建立如下：

其中x（t），y1（t），y2（t）分别代表食饵种群、幼年捕食者、成年捕食者在t时刻的密度，所有系数均为正，r1为食饵种群的出生率，且食饵种群自身带有密度制约；k为食饵到捕食者的转化系数；d为幼年捕食者向成年捕食者转化的转化率；v1，v2分别为幼年捕食者和成年捕食者的死亡率；捕食者自身带有密度制约。

基于种群生态意义，系统（1）应在

上研究，且初值满足条件

定义1 系统（1）的解称为是最终有界的，是指存在正常数M，使得对于系统（1）的每一解（x（t），y1（t），y（2t）），存在T＞0使得｜x（t）｜+｜y（1t）｜+｜y（2t）｜≤M对于一切t≥t0+T成立。

定义2 系统（1）的解称为是一致持久的，是指存在正常数m和M，使得对于系统（1）的每一解（x（t），y（1t），y（2t）），有

2主要结论

定理1 系统（1）满足初始条件（2）的解是最终有界的。

沿系统（1）对ρ（t）求导，有

其中v=min{v1，v2}。

由此可得

则存在M＞M*，T1＞0，使得当t≥T1时ρ（t）≤M，即证得系统（1）满足初始条件（2）的解最终有界。

证明 设（x（t），y1（t），y2（t））为系统（1）满足初始条件（2）的任意正解，由系统（1）第一个方程可得

由比较原理[7]可得

由系统（1）第三个方程可得

构造辅助系统

将系统（4）改写为

构造Liapunov函数

沿系统（5）对t求导，由

可知

类似定理1可知u1（t），u2（t）有界，则可知u2′（t），u2（t）-u2*一致连续。由Barbalat[8]引理有

在［0，t］上将上式两端积分，由

即

因此，存在T2≥T1，使得t≥T2时有

由比较原理可知

再结合（3）式及定理1，可知系统（1）是一致持久的，证毕。

利用微分方程定性和稳定性理论，构造适当的Lyapunov泛函等方法对两类具有时滞及功能反应函数的捕食模型进行了分析。考虑了具有时滞及HollingⅢ类功能反应及阶段结构的捕食系统，其中捕食者分为幼年捕食者和成年捕食者，其中幼年捕食者不具备捕食食饵的能力，在自然界中，许多哺乳动物符合此模型的描述。给出了系统正平衡点存在所需满足的条件，进一步利用霍尔维兹判别法和得到了系统正平衡点为局部渐近稳定的条件。利用比较原理和构造Liapunov函数分方法给出了系统为一致持久的充分条件。

［1］刘兵，马毅.关于一类非自治阶段结构捕食系统的持久性与周期解［J］.生物数学学报，2001（4）：416-421.

［2］Xu R，Chaplai M A J，Davidson F A.Persistence and Global Stability of a radio-dependent predator-prey model withstagestructure［J］.AppliedMathematicsand Computation，2004，158：729-744.

［3］胡殿旺.一类阶段结构捕食系统的持久性和全局渐近稳定性［J］.数学理论与应用，2007（1）：68-70.

［4］张安梅.一类具有阶段结构的非自治捕食-食饵系统的持久性与周期解［J］.数学的实践与认识，2007（24）：102-106.

［5］Agarwal M.，Devi S.，Persistence in a Ratio-dependent Predator-prey-resource Model with Stage Structure for Prey［J］.International Journal of Biomathematics，2010（3）：313-336.

［6］Zhu Y L.Uniformly Persistence of a Predator-prey Model withHollingⅢTypeFunctionalResponse［J］. International Journal of Computational and Mathematical Science，2010（7）：355-357.

［7］马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法［M］.北京:科学出版社，2001.

［8］Zhang J R，Chen L S，Chen X D.Persistence and Global Stability for Two-species Nonautonomous Competition Lotka-VolterraPatchSystemwithTimeDelay［J］. Nonlinear Analysis，1999，37：1019-1028.

［9］金永玲，杨苏宁，丛斌，等.黑龙江西部地区草原蝗虫种群及其天地多样性研究［J］.黑龙江八一农垦大学学报，2015，26（4）：6-11.

Uniform Persistence for a Prey-predator System with Stage-structure and HollingⅢ-type Functional Response

Ye Jinhua Zhu huan
（College of Sciences，Heilongjiang Bayi Agriculture University，Daqing 163319）

A prey-predator system with stage structure for predator and Holling typeⅢfunctional response was investigated. Sufficient conditions were derived for the uniform persistence of this system by using comparison principle and constructing Liapunov function.

stage structure；functional response；prey-predator system；uniform persistence

O175

A

1002-2090（2017）01-0144-03

2016-01-13

大庆市科技局项目（szdfy201547）。

野金花（1979-）女，讲师，哈尔滨理工大学毕业，现主要从事泛函分析与控制理论方面的教学与研究工作。