尊重知识发展规律，打造自然生态课堂——“函数的概念”教学思考

☉重庆市教育科学研究院张晓斌

☉重庆市复旦中学陈建

尊重知识发展规律，打造自然生态课堂
——“函数的概念”教学思考

☉重庆市复旦中学 李波

☉重庆市教育科学研究院张晓斌

☉重庆市复旦中学陈建

笔者在重庆市高中数学教师骨干班有幸聆听了易中建老师的讲座.易老师提倡的数学教学应坚持的基本原则：自然、情感、结构、目标.给数学课如何更好开展、如何设计与构思、如何更好地达成教学目标指明了方向.在实际数学课堂中，自然的地位是相当重要的，教师教育教学要做到顺理成章、合情合理、循序渐进，学生才能更好地接受.

一、教材模式探讨

三年轮回，送走高三又进入高一，讲完集合的定义、不等式的解法，即将开始函数概念的学习.发现学生在集合部分学习就感觉抽象难懂，在函数的概念这里更加不易理解.该部分内容如何教学，备课组内老师进行研讨，在教材上找办法，就几种教材模式进行对比.

第一种模式：人教老版本教材的办法.先讲映射概念，再引入函数概念.这种方式从集合直接过渡到函数，体现了从一般到特殊的数学思想，学生感觉初高中函数知识脱节，各自成体系，同时对学生的要求较高，学生理解难度较大，这也是教材改版的原因之一.

第二种模式：人教课标版教材.教材通过炮弹发射、臭氧空洞、恩格尔系数等三个实例的引入“归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记f：A→B，一般地……”紧接着就给出了函数的概念.通过对教材及旁白的研读［1］，我们产生了困惑：第一，从三个实例只是体现了x与y的一种对应关系，若直接往“数集”方向引导，给学生的感觉，初中函数变量x，y与高中数集有什么直接联系的疑问.此处这样直接处理，知识跨度较大，这也造成教师的引入不自然.第二，三个实例分别代表了解析式法、图像法、列表法，放到函数的表示法章节更合理.第三，教材在函数的定义后两段话引起了我的思考“我们所熟悉的一次函数y=kx+b……二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）……和它对应.”既然一次函数、二次函数是同学们最熟悉的函数，我们教学是否可以从这里突破，这样引入就更为自然，我们想到了改变教材顺序，得到了第三种模式.

第三种模式：以同学们熟悉的一次函数、二次函数为切入点，通过函数解析式作函数图像、图像的构成元素点、点的代数形式坐标为主线进行分析；由图像的变化趋势过渡到点横纵坐标的变化范围，再引入数集及对应方式，自然地形成了高中函数的概念，及定义域、值域、对应关系.如结构图：

数学概念课老师不好讲、学生难理解的特点，集中组内教师的智慧对教材模式进行探讨，找到最佳模式.对第三种模式的选择，初高中知识自然衔接、尊重了数学知识发展规律，学生情感有效调动、教学组织顺利开展，教学目标更易达成.

二、构造生态课堂

1.课堂引入

有了指导思想，笔者在所教班级进行了教学实践.情景展现如下，要求学生做下面三件事：第一，列出初中讲过的函数；第二，作出对应的函数图像；第三，用自己的理解方式，写出初中函数的定义.

这三个问题引起了学生极大的兴趣，整理了部分学生的回答.对第一问的回答：一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数、常值函数等；对第二问的回答：一次函数图像是一条直线、二次函数图像是抛物线、反比例函数图像是一对曲线、三角函数图像不会…；对第三问的回答：有x与y就是函数、有图像就是函数、函数有解析式、x是自变量，y是因变量……同学们逐渐完善了初中函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，y是随着x的变化而变化.其中，x是自变量，y是因变量.

2.课堂探索

以一次函数y=x、二次函数y=x2、反比例函数图像y=、常值函数y=1为例：

探索（1）对应方式.

函数的图像是由无数个点构成的，点的代数形式以坐标而存在，因此研究图像的本质是研究点的坐标.

图1中在直线上任一点P，点P在直线上移动时，对应的坐标xp，yp的值也随之变化.每一个点P确定，对应的坐标xp，yp也确定；在x轴上任取一个值xp，与之对应的点P就确定，与之对应的唯一函数值yp也确定；反之也一样，因此可以说xp，yp这两个数，在图中点P的作用下xp→yp或 yp→xp均形成一一对应关系：

图2中抛物线上任一点Q，点Q在抛物线上移动时，对应的坐标xQ，yQ的值也随之变化.每一个点Q确定，对应的坐标xQ，yQ也确定；在x轴上任取一个值xQ，与之对应的点Q就确定，与之对应的唯一函数值yQ也确定.同时我们也发现：当在x轴上任取一个值xQ时，由图像的对称性，-xQ也有与之对应的唯一函数值yQ，即：-xQ、xQ都对应同一函数值yQ；反之却不一样：在y轴上任取一个值yQ，与之对应的点Q就不确定，有两个点，与之对应xQ的值也有两个.因此可以说xQ与yQ，-xQ与yQ这两组数，在图中点P的作用形成二对一关系；反之，yQ形成一对二关系.

图3与图1类似，在图中点M的作用下xM→yM或yM→xM均形成一一对应关系：

图4中在直线上任一点N，点N在直线上移动时，对应的坐标xN在变化，而yN≡1.每一个点N确定，对应的坐标xN，yN=1也确定；在x轴上任取一个值xN，与之对应的点N就确定，与之对应的唯一函数值yN=1确定，同时无论取多少个xN都对唯一的函数值yN=1；反之，yN=1时与之对应的xN有无数个.因此形成多对一的关系，而yN形成一对多的关系.

探索（2）数集.

从上面四个函数图像观察，图像变化时，构成图像的无数个点的坐标也在变化.图像的延伸的代数实质是点的坐标不断变化.图像的变化趋势反馈到点的横坐标，即看图像对应的x的变化范围，这个范围就是图像上每一个点的横坐标取值的总体，是一个实数的集合，简称数集.同理，图像的变化趋势反馈到纵坐标，即看图像对应的y变化范围，这个范围就是图像上每一个点的纵坐标的取值的总体，即所有函数值构成的集合，也是一个数集.关系图如下：

图像波动坐标范围图1图2图3图4横坐标RRR*R纵坐标R［0，+∞）R*｛1｝

探索（3）高中函数概念生成.

上面的探索1解决了变量x、y的对应方向问题，即每一个x在f作用下有唯一y与之对应，同时也解决了变量x→y的对应方式问题，即一对一或多对一；探索2把初中x→y的变量关系引申到高中的数集，我们利用图像的变化反馈到横纵坐标的变化范围，再拓展到两个非空数集.因此，我们结合以上两点就可以给出高中函数的概念，让学生更深层次理解函数三要素核心：定义域、值域、对应关系.结构图如下：

通过探索高中函数的概念，它是在初中函数概念的基础上进一步深化和挖掘，体现了数学知识形成演变过程，让学生对数学知识的形成和发展有了客观的认知，也让课堂教学变得更加自然生态.

三、结语

在课堂教学中要注重知识顺序的自然性，注重知识内在的自然生长，尊重知识的发展规律，只有这样才能打造自然生态的课堂.因此我们在今后的教学中要做到：知识的引入要自然，知识的过渡要自然，知识的发生、发展要自然，解题的方法要自然.［2］

1.李波，黄益全.人教版高中数学教材旁白的研读［J］.中学数学月刊，2016（7）.

2.易中建.数学教学应坚持的“基本原则”［J］.中学数学教学参考（上旬），2016（1-2）.