高中数学解题中应用分类讨论思想的研究及分析

张贞忠

【摘 要】由于课程改革发展速度不断加快，增加了对于学生数学思想的培养，最近几年，高考当中对于应用分类讨论思想解题方面提出了新的要求，想要让学生可以掌握这个重点数学思想。本文主要分析了高中解题中运用分类讨论思想，旨在给其提供一定的参考和帮助。

【关键词】高中数学 解题 分类讨论

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.04.194

新课标当中明确表明，数学思想方式属于数学基础知识的主要构成之一，分类讨论思想也是使用比较频繁的数学思想，应用十分广泛。要求高中数学教师，必须要最大限度挖掘分类讨论这一思想，同时将这个思想传递给学生，这已经成为了数学教师重点关注的问题。新课标当中分类思想在课本当中的体现是十分丰富多样的，在整个初高中时期，许多问题均使用分类思想，把不一样的事物分成相应的类型，找到其存在的一样的点以及规律性。因此，下面将进一步阐述高中解题过程中引用分类讨论思想的策略。

一、分类讨论思想

分类讨论思想指的是解决具体问题的过程中，研究的对象存在许多不一样的情况，不可以一起解决，这个时候我们一定要弄清楚问题的实质，对其进行合理的归类分化，之后针对分类情况依次进行研究探索，最终把每个类型的结果汇总到一起，获得解决问题的结果。

二、分类讨论的种类

1.概念型，其探索的问题索包含的数学概念属于分类去定义的，例如m的定义分别是n>0和n=0以及n<0这三种情况。2.条件型，其探索的问题关系到的数学问题存在范围或者是条件方面的限制，例如，推递等比数列前n项和这个公式，分m=1以及m≠1这两种情况。3.含参型，在解决含参变量题目的过程中，一定要依照参数的不一样取值范围依次进行探讨，若解不等式mx>3的时候，分别讨论m>0和m<0以及m=0这三种情况。

三、分类讨论解题流程

1.明确探讨对象以及研究的全部区域。2.针对研究的问题将其分成几种类型，在分类的过程中要注意不要存在重复，或者是漏掉的情况。3.分类探讨，也就是对于每个种类的问题分别进行讨论，之后依次解决每个类型的问题。4.归纳汇总，通过整理获得结论。

四、高中数学解题中应用分类讨论思想策略

（一）集合类问题分类讨论思想应用

在解决集合类型问题的时候，运用分类讨论思想。

例如，已知集合P={n2，n+1，-3}，Q={n-2，2n-1，n2+1}，如果={-3}，求m的值，这是一道选择题，给出的选项分别是0和-1以及1和2，这個时候应该选择=-1。

解题思路如下：因为={-3}，所以-3Q={n-2，2n-1，n2+1}，在n-3=-3的情况下，n=0，P={1，0，-3}，Q={-3，-1，1}，这个时候={-3，1}这和已知条件不符。在2m-1=-3的情况下，n=-1，P={1，0，-3}，Q={-4，-3，2}。在n2+1=-3的时候，方程不存在实数解。汇总，这个立体主要考察集合在运算过程中分类讨论思想，分类的准则是集合的性质，也就是确定性和无序性以及互异性。

（二）分类讨论思想在方程及函数类问题解题时的应用

例如，在解决这个例题的过程中，设函数，对任意恒成立，则求出实数取值范围，第一种揭发，很明显，因为函数对属于增函数，这个时候，不是恒成立的。在函数为减函数的时候，其获得的值是最大的，这样恒成立相当于是最大值，能够计算出实数的取值范围。

总结，包含参数的二次函数其最值有关问题十分常见，分类的核心就是要掌握对称轴，针对不一样的区间，对其分类进行讨论，进而解决问题。

（三）分类讨论思想在题设条件中包含明显分类信息题目中的应用

针对题设条件或者是结论当中包含显著分类信息题目，在进行解题的过程中，必须要针对所给的条件或者是结论当中包含的种类去划分，防止漏掉的情况。例如，解决下面这个例题的时候，就可以使用分类讨论思想解题。已知圆柱侧面展开图形边长是4和6的矩形，要求求得圆柱的体积，在解决这个问题的过程中，可以根据已知条件将其分成若干类型，由4是圆柱的高，6是圆柱的底面园的周长，能够构成一个圆柱体，由6为圆柱的高，而4是圆柱地面圆周长还可以构成一个圆柱体。

解题思路如下：

在将4当作圆柱高的时候， r1 = = ，所以，v1= r12h1= = 。当把6当作圆柱高的时候，r2 = = ，所以，在v= r22 h2= = ， 所以，圆柱的体积为 或者是 。

（四）分类讨论思想在概率解题中的运用

高中数学概率模块当中计算问题解决时应该针对问题自身提出的要求对其进行分类，计算出基础事件的数量。例如，在解决下面这个例题的时候，在某个地区奥运火炬传递这个活动的过程中，拥有编号是1，2，3，4，5……18的火炬传递着，要在当中随便选择三个火炬手，那么选择出来的火炬手编号可以构成3是公差的等差数列的概率是多少，给出的选项分别是 和 以及 和 。

解题思路如下：这个例题是比较典型的概率类型问题，基础事件的全部数量是 =17×16×3。选取出火炬人员编号是an=a1+3（n-1），在a1等于1的时候，火炬手能够由1和4以及7和10，还有13和16当中选择，在选择1，4，7的时候，一共有四种选择的方式。在a1等于2的时候，火炬手可以在2和5以及8和11，还有14和17当中选取，这个时候存在四中选择方式。在a1等于3的时候，火炬手应该在3和6以及9和12，还有15和18当中选取，依然存在四种选择方式。因此，我们能够计算出P=4+4+4/17×16×3=1/68。

五、结束语

通过本文对高中数学解题中应用分类讨论思想策略的进一步分析和阐述，使我们了解到在高中数学教学过程中十分有必要使用分类讨论这一思想，这也是新课标当中重点强调的数学思想。要求高中数学教师必须要培养学生形成分类讨论这一数学思想，同时让其掌握在解题过程中运用这种思想的策略，进而从根本上提升解题的效率和质量，加强高中数学课堂教学的有效性。

参考文献

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[2]阎绍悦.分类讨论思想在初中数学解题中的应用探索[J].数理化解题研究（初中版），2014，10：47.

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