选取生活图形探寻数学规律

余苏雯　裴慧慧　傅华云

《图形中的规律》是人教版《数学》五年级上册的一节综合实践课，本节课教学的核心理念是：让学生在观察操作中融入数学思维训练；在讨论交流中掌握数学思维方法；在归纳对比中提升数学思维品质。具体设计如下：

一、情境简约导入，整体感知

先让学生根据三角形的个数和所需小棒根数摆出图形，为学生列出抽象关系式提供直接的经验。再让学生从图形入手，想一想怎样摆可以把所需的小棒根数写成与三角形个数有关的关系式，从而顺畅地将学生的思维引向抽象的关系式。

教学中，笔者先用课件出示单个摆三角形，摆一个三角形需小棒3根，摆2个三角形需小棒6根，如果摆n个单独的三角形，一共要用几根小棒呢？学生指出每摆一个三角形需要3根小棒，摆n个就需要3n根小棒，算式是3×n=3n。

笔者引导学生继续思考——

师：谁能用少于6根的小棒摆出两个相同的三角形？试着摆一摆。

生1（如图1）：我只用了5根，先摆一个三角形，在后面加上两根。

生2（如图2）：我也只用了5根，比单独摆两个三角形少用一根，因为有一条公共边。

生3（如图3）：我只用了4根小棒，我是这样摆的。

师：你们对以上三位同学的摆法有什么意见？

生4：第三幅图中有一根小棒超出了一大截，不符合摆的规则。

最后，大家一致认为第一名学生的摆法较为合理。笔者请学生以小组合作的形式像这样继续摆下去，两人一组，边摆边填数据，并思考三角形的个数与所需小棒的根数之间有什么规律，把自己的发现用算式表示出来。

课前导入部分，以单个摆三角形为例，引发学生兴趣，然后探究单个摆三角形的规律，可以用式子3n来表示。在这里用贴近生活的情境导入课题，学生容易接受，不仅激发了学生的兴趣，同时也为后面摆连续的三角形做铺垫。在学生操作前，教师给予适当引导，先让学生明确活动意图，活动方法，再给学生充足的时间讨论、交流，给学生最大的空间思考、推测，重视学生自主探究能力的发展和自我生成能力的培养。

二、引导自主探究，拓宽思维

教学时给予学生最大的思考空间，并且让学生充分合作交流，教师顺学而导，对学生思维方式及时评价和引导，拓宽了学生的发散思维。学生共发现了三种不同的方法。

1.“一形不动”（如图4）

生1：摆1个三角形需要3根小棒。摆2个三角形需要在第一个三角形的基础之上增加2根，算式为3+2。摆3个三角形需要在第一个三角形的基础上增加2个2，算式为3+2×2。

师：谁能指出增加了哪2个2？

（学生上台指出。）

师：当摆4个三角形、5个三角形呢？

生1：增加3个2：3+2×3，增加4个2：3+2×4。

师：你发现了什么规律？

生1：都有3，都有2。

生2：每增加一个三角形增加一个2。

生3：增加的2的个数比三角形个数少1。

师：当摆n个三角形时会增加多少个2？小棒的根数可以怎么表示？

生1：增加n-1个2，小棒的根数是3+ 2×（n-1）。

师（板书）：这里的3表示什么？2×（n-1）又表示什么呢？

生1：3表示第一个三角形用的小棒根数，2×（n-1）表示每增加一个三角形要用的小棒根数。

师：一直在第一个三角形的基础上增加2，也就是第一个三角形一直没动，我们可以给它取个什么名字呢？

生4：一形不动法。

2.“节约小棒”（如图5）

生1：当摆一个三角形时，小棒的根数为3根，当摆2个三角形时，需要小棒根数为3×2-1，这时小棒的根数会在单独摆2个三角形的基础上节约1根。

师：节约哪1根？请你指出来。

（学生上台指出。）

师：摆3个呢？4个呢？

生1：摆3个三角形节约2根小棒，算式为3×3-2。

生2：摆4个三角形节约3根小棒，算式为3×4-3。

师：当为n个三角形呢？会节约多少根小棒？

生（齐）：（n-1）根。

师：所以小棒的根数可以怎么表示？

生（齐）：3×n-（n-1）。

师：你发现了什么规律？

生1：我发现节约小棒的数量比三角形个数少1。

师：3×n-（n-1），这里的3表示什么？n代表什么？n-1呢？

生3：这里的3×n表示摆n个三角形所需的小棒根数，（n-1）表示连续摆后节约下来的小棒根数且节约小棒的数量比三角形个数少1。

师：你能给这种方法起个什么有趣的名字吗？

生1：“节约小棒法”或 “减去小棒法”……

3.“一根不变”（如图6）

生1：我是这样摆的，先摆1根，再摆2根，所以当为1个三角形时，小棒的根数可以用算式表示为3=1+2，当为2个三角形时，再摆2根，这时会有2个2，算式为1+2×2。

师：当摆3个、10 个、n个三角形时有几个2？

生2：摆3个三角形时，有3个2；摆10个三角形时，有10个2；摆n个三角形时就有n个2。

师：用算式怎样表示？

生2：1+2n。

师：这里的1、2、n分別表示什么？

生3：1表示第一根，2表示每次增加2根小棒，n表示三角形个数。

师：谁能给这个方法也起个名字？

生3：“一根不变法”或“一边不动法”。

师：所以像这样连续摆三角形，当摆n个三角形时，我们可以用以上三种方法来描述这种规律，你最喜欢哪种方法？为什么？

生1：我喜欢“一根不变”法，算式简单。

生2：我喜欢“节约小棒”法，我就是这么想的，很巧妙。

在学生探究连续摆小棒的活动中，教师通过追问，让学生的思维深度参与。例如适时追问增加了几个2？哪两个2？节约几根？当学生总结含n的字母表达式，追问每个式子的字母和数字代表什么意思，旨在加深理解，渗透 “自变量”与“因变量”的关系，引导学生自己去发现、探究、得出结论。

三、归纳对比验证，总结规律

用字母表示所摆三角形的个数与所需小棒根数间的规律，三种方法看似独立，其实密不可分。如果学生没有归纳3+2×（n-1）与3n-（n-1）前两个环节的经历，就不可能很快理解1+2n这个关系式。教学中，让学生经历归纳、类比与验证等数学活动，使学生根据已有的事实进行数学推测，养成“推理有据”的好习惯，从而提高学生创新的思维品质。

巩固练习环节，笔者先让学生观察思考：通过刚才的学习，你明白了什么？学生的体会是观察的角度不同，得到的规律也不同。为了进一步加深学生对规律的理解，笔者设计了层层递进的练习。先让学生选择自己喜欢的方法，计算出当摆100个三角形时需要多少根小棒，直接运用规律；再设置问题情境：笑笑接着摆下去，一共用了37根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗，逆向运用规律；最后，出示图7，问学生像老师这样连续摆四边形，你又能得到哪些规律，迁移拓展规律。

课堂上要有充分的自主学习时间，让学生经历学习的过程；要有充足的自由探索空间，让学生体验思考的乐趣。

（作者单位：宜昌市西陵区红星路小学）

责任编辑 孙爱蓉