例谈圆锥曲线的最值、参数范围

马海俊

自2012年以来，全国卷每年都会出现1大2小的形式考查圆锥曲线. 小题多考查圆锥曲线的标准方程和性质；解答题常结合直线与圆锥曲线的位置关系综合考查定点、定值、最值、范围、探索性问题等. 本文结合典型例题，介绍求解圆锥曲线最值、范围问题的常用方法.

以形助数，巧用几何法求最值

此类题目的特征是：题目条件、结论能明显体现几何特征及意义. 通常以圆锥曲线的定义为背景，结合圆锥曲线特有的几何性质求解较为简洁. 最值问题常常分为以下两类：（1）利用第一定义转化为三点共线问题；（2）利用第二定义转化为三点共线问题.

例1 已知橢圆[x225+y216=1]内有一点[A]（2，1），点[F]为椭圆的左焦点，点[P]是椭圆上动点，求[PA+PF]的最大值与最小值.

分析 求[PA+PF]的最大值与最小值，若用普通方法比较难解，那么我们可作适当转化. 利用椭圆的第一定义，把[PF]转化为与另一焦点有关的线段，即[PF=2a-PF]，再结合平面内三点共线时有最值，而点[P]在线段[AF]延长线的不同侧时，会使[PA+PF]取得最大值或最小值.

解 如图，设椭圆的右焦点为[F]，其坐标为[F]（3，0）.

由椭圆的第一定义得， [PF+PF=10].

则[PA+PF=10+PA-PF].

（1）当点[P]为[AF]的延长线与椭圆的交点时，[PA-PF]最大，最大值为[AF=2].

（2）当点[P]为[FA]的延长线与椭圆的交点时，[PA-PF]最小，最小值为[-AF=-2].

故[PA+PF]的最大值为[10+2]，最小值为[10-2].

解读 本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值[2a]，两定点为焦点，[a]为长半轴，利用这定义，把所求的目标转化为容易求解的目标. 即把[PA+PF]转化[10+PA-PF]，即转化为[A]，[F]，[P]三点共线进行讨论. 当点[P]在[AF]延长线时，所求函数有最大值；当点[P]在[FA]的延长线时，所求函数有最小值.

例2 已知双曲线[C：x29-y216=1]内有一点[A7，3]，点[F]是双曲线[C]的左焦点，点[P]为双曲线[C]上的动点，求[PA+35PF]的最小值.

分析 注意到式中的数值“[35]”恰为[1e]，则可由双曲线的第二定义知，[35PF]等于双曲线上的点[P]到左准线的距离[PM]，从而[PA+35PF][=][PA+PM].

解 设双曲线的左准线为[l]，过点[P]作准线[l]的垂线，垂足为[M].

根据双曲线的第二定义得，[PM=53PF].

所以[PA+35PF][=][PA+PM].

由图可知，当[A]，[P]，[M]三点共线时，[PA+PM]取得最小值，其大小为[AM=7+95=445]，即[PA+35PF]的最小值为[445].

解读 利用第二定义实现了数据的转化，本题的一般情形：“假如题设与本题类同，所求的便是[PA+1e|PF|]的最小值（也适合于椭圆、抛物线）. 注：上述两例利用第一定义、第二定义转化为熟悉的折线段最值问题求解，体现了转化与化归的数学思想.

“以数解形”，构建目标函数求最值

此类题目的特征：题中条件和结论出现一种明显的函数关系时可通过建立目标函数求最值. 这类题目通常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，求面积的最大值和最小值、距离（或弦长）的最长和最短、不定量的最大和最小值等问题.

例3 设圆[x2+y2+2x-15=0]的圆心为A，直线l过点B（1，0），且与x轴不重合，直线l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明：[EA+EB]为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交曲线C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

解析 （1）点[E]的轨迹方程为：[x24+y23=1][（y≠0）]. （求解过程略）

（2）①当[l]与[x]轴不垂直时，设[l]的方程为[y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.]

由[y=k（x-1），x24+y23=1]得，[4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0.]

则[x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3.]

所以[MN=1+k2x1-x2=12k2+14k2+3.]

过点[B（1，0）]，且与[l]垂直的直线[m]：[y=-1k（x-1），]点[A]到[m]的距离为[2k2+1，]

所以[PQ=242-21+k22=44k2+3k2+1.]

故四边形[MPNQ]的面积

[S=12MN?PQ=121+14k2+3.]

当[l]与[x]轴不垂直时，四边形[MPNQ]的面积的取值范围为[12，83.]

②当[l]与[x]轴垂直时，其方程为[x=1，MN=3，][PQ=8，]四边形[MPNQ]的面积为12.

综上所述，四边形[MPNQ]的面积的取值范围为[12，83.]

解读 本题中将面积表示成斜率[k]的函数，利用函数性质得到最值. 本题的易错点是忽略斜率不存在的情况，所以参数范围很重要.

例4 如图，[A，B，P（2，4）]是抛物线[y=-12x2+6]上的点，且直线[PA，PB]的倾斜角互补，若直线[AB]在[y]轴上的截距为正，求[△APB]面积的最大值.

解析 设[A（x1，y1）]， [B（x2，y2）]，

则[y1=-12x21+6，①y2=-12x22+6，②4=-12?22+6. ③]

①-③得，[y1-4=-12（x1+2）（x1-2）].

[∴kPA=y1-4x1-2]=-[12（x1+2）].

②-③得，[y2-4=-12（x2+2）（x2-2）].

[∴kPB=y2-4x2-2]=-[12（x2+2）].

∵直线[PA]与[PB]的倾斜角互补，

∴[kPA+kPB=-12（x1+x2+4）=0， ∴x1+x2=-4].

①-②得，[y1-y2=-12（x1+x2）（x1-x2）].

[∴kAB=y1-y2x1-x2]=-[12（x1+x2）=2].

设直线[AB]为[y=2x+b（b>0）]，

代入[y=-12x2+6]得，[x2+4x+2b-12=0].

[∴|AB|=5（x1+x2）2-4x1x2=5?64-8b.]

又[P（2，4）]到直线[AB：2x-y+b=0]的距离为[b5]，

[∴S△ABC=12d?|AB|=][12]×[b5]×[5?64-8b]

[=b16-2b]=[b?b?（16-2b）]≤[（163）3]=[6493].

当且仅当[b=163]时，[S△ABC]取到最大值[6493].

解读 本題利用基本不等式求[S△ABC]的最大值时，先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的前提. 另本题用“点差法”求得[kAB]，值得关注.

深挖条件，构建不等式求解参数范围

有些题目，函数关系不易建立时，要善于建立含参数的不等关系，通过解不等式求得参数范围. 构造含参数的不等式关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理. 常见题型有两类：（1）从直线和圆锥曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数范围；（2）利用题中其他变量的范围，借助方程产生变量的函数表达式，代入其他变量范围，解不等式，求得参数范围.

例5 已知直线[l]与[y]轴交于点[P（0，m）]，与椭圆[C：2x2+y2=1]交于相异两点A，B，且[AP=3PB]，求[m]的取值范围.

解析 （1）当直线斜率不存在时，不符合题意.

（2）当直线斜率存在时，设[l]与椭圆C交点为 [A（x1，y1），B（x2，y2）].

[∴][y=kx+m，2x2+y2=1.]

联立得，[（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0.]

[∴][x1+x2=-2kmk2+2，x1x2=m2-1k2+2，]

[Δ=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）>0]. （*）

∵[AP=3PB]，∴[-x1=3x2].

∴[x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22.]消去[x2]得，[3（x1+x2）2+4x1x2=0].

[∴3（-2kmk2+2）2+4m2-1k2+2=0.]

整理得，[4k2m2+2m2-k2-2=0.]

当[m2=14]时，上式不成立.

当[m2≠14]时，[k2=2-2m24m2-1].

∴[k2=2-2m24m2-1≥0]，∴[-1≤m<-12]，或[12

把[k2=2-2m24m2-1]代入（*）得，[-1

∴[-1

综上所述，m的取值范围为[-1

例6 已知椭圆[E：x2t+y23=1]的焦点在[x]轴上，点[A]是椭圆[E]的左顶点，斜率为[k（k>0）]的直线交椭圆[E]于[A，M]两点，点[N]在[E]上，[MA⊥NA].

（1）当[t=4，|AM|=|AN|]时，求[△AMN]的面积；

（2）当[2|AM|=|AN|]时，求[k]的取值范围.

解析 （1）略.

（2）由题意得，[t>3]，[k>0]，[A（-t，0）].

将直线[AM]的方程[y=k（x+t）]代入[x2t+y23=1]得，

[（3+tk2）x2+2ttk2x+t2k2-3t=0].

由[x1?（-t）=t2k2-3t3+tk2]得，[x1=t（3-tk2）3+tk2].

故[AM|=|x1+t|1+k2=6t（1+k2）3+tk2].

由题意得，直线[AN]的方程为[y=-1k（x+t）.]

故同理可得，[AN=6kt（1+k2）3k2+t.]

由[2AM=AN]得，[23+tk2=k3k2+t，]

[即k3-2t=3k2k-1.]

当[k=23]时，上式不成立.

因此[t=3k（2k-1）k3-2，t>3等价于]

[k3-3k2+k-2k3-2=k-2k2+1k3-2<0，]即[k-2k3-2<0.]

因此，[k-2>0，k3-2<0，或k-2<0，k3-2>0，]解得，[23

因此[k]的取值范围是[23，2.]

解读 例5借助判别式得到参数范围；例6借助参数[t]的范围构造含[k]的不等式. 两例都通过解不等式达到求解目的.